Exámenes: ¿Problemas tipo o problemas de idea feliz?

10 junio 2019

Fuente: Wikipedia

Si le preguntas a los alumnos se decantarán claramente por el primer tipo, pero más allá de sus gustos o intereses, discutamos qué opciones son pedagógicamente más interesantes, como profesores y como científicos.

Reconozco la falsa dicotomía del título ya que. en realidad, todos los profesionales estaremos de acuerdo en que lo ideal es un problema que pueda resolverse con los conocimientos que deben demostrar, pero que no resulte tan sencillo como para ser un ejemplo común que puedan haber memorizado sin mayor comprensión.

¿Dejamos aquí el post? Nada de eso.

Como en tantas ocasiones, es muy fácil escribir una solución que sea casi tautológica o autorreferente, de forma que sea innegable, pero a la vez no dé ninguna pista de como podría concretarse.

¿Cuál es ese ejercicio magnífico en el que tienen que usar de manera comprensiva los conocimientos que les enseñamos, pero que ni es el mismo problema del libro con los datos cambiados, ni algo que no pueda resolverse sin darse cuenta de un detalle especial que ni siquiera tiene que ver directamente con lo que les enseñamos?

Mi tesis es que… no existe. Nuestros esfuerzos por salir de los problemas tipo suelen acabar en problemas de idea feliz.

Puede ser que esto sea mucho más cierto en los niveles menos sofisticados de la educación, aunque por esto me refiera incluso a los primeros cursos universitarios.

Pero esto a mí no me preocupa. Me gustan los problemas tipo… porque me gusta la ciencia.

Me explicaré. Me gustan las regularidades que encontramos en la naturaleza, me gustan los patrones, me gustan las fórmulas, me gusta que los que nos precedieron se dieran cuenta de que de aquella manera se podía resolver un problema o muchos.

Me gustan los sistemas, los protocolos. Acercarme a un problema y saber que puedo aplicar ciertas “técnicas” y resolverlo, de una manera sistemática.

Algo distinto es “adornar” los problemas, por ejemplo, casi todos los profesores que hemos enseñado física hemos puesto ese problema de caída de objetos en los que se calcula desde qué piso se tiró el tiesto que mató a la víctima de un asesinato o cosas parecidas, pero hay unas fórmulas, hay unas maneras de plantear el problema, hay unas condiciones para la altura máxima, para el tiempo de vuelo.

Lo mágico de las regularidades matemáticas de la naturaleza es que, con este sistema, podemos resolver “cualquier” problema.

Recordemos de nuevo que en los primeros niveles de conocimiento estamos enseñando las técnicas básicas y que es justo eso de lo que tenemos que examinar a nuestros estudiantes. ¿Sabe resolver una integral racional? ¿Sabe calcular el alcance máximo de un tiro parabólico? ¿Sabe diagonalizar una matriz?

Creo que parte del problema es que entender algo y tener la habilidad de hacerlo de una manera eficiente son dos cosas que pueden no estar relacionadas, necesariamente.

Por ejemplo, es necesario conocer las tablas de multiplicar y ser capaz de hacer esa operación de una forma rápida y eficiente, más allá de que sea una suma de sumandos iguales. Se puede tener una profunda comprensión de la definición y tardar una barbaridad en resolverlo, haciendo la suma de los sumandos iguales, o haber olvidado eso pero ser capaz de aplicar el algoritmo, dando un resultado fiable en segundos.

Ningún profesor busca activamente la incomprensión de sus alumnos (salvo algún sádico esporádico), otra cosa es que consigamos que lo comprendan, o que los alumnos pongan el esfuerzo o el interés necesario.

Intentar que se comprenda lo que explicamos y que se sea eficiente en resolver los problemas (dos cosas diferentes, insisto) es justo lo que tenemos que hacer en las clases.

Preguntar los usos más básicos de un conocimiento incipiente es justo lo que tenemos que hacer en un examen.

Buscar que no nos cuelen una resolución tipo sin entender nada, también es nuestra obligación, pero caer en generar exámenes de una gran dificultad para evitarlo, creo que es un error.

Recordemos que estos problemas no son un divertido desafío que has elegido y en el que piensas relajadamente una tarde lluviosa, es una situación de estrés en la que te juegas el aprobado.

Así que, en mi opinión (espero las vuestras), nuestros ejercicios deberían ser abordables usando las técnicas que enseñamos y en el tiempo del que se dispone… lo que nos lleva a algo muy parecido a “problemas tipo”.

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Demostraciones (?) gráficas

1 mayo 2019

La verdad es que es costoso “ver” los asuntos numéricos, por eso nos ayudamos de gráficas, diagramas, animaciones y mil cosas más. Fantásticas ayudas, que con apoyo de la tecnología son multitud.

El problema viene cuando esas supuestas demostraciones, a veces sólo ilustran, y a veces inducen a error.

Miremos este gif

Fuente: Wikipedia

Fácil, ¿verdad?

Hemos transformado el círculo en un rectángulo de la misma superficie, y como el área del rectángulo es base x altura, pues, listo: “pi, erre cuadrado”.

Pero, eso NO es un rectángulo, los sectores están curvados…

Ya, pero en el límite…

En el límite, puede que sí y puede que no. Esto NO es una prueba. Todos quedan contentos, el profesor y el estudiante, pero no está bien.

Veamos ahora este gif.

Fuente: Giphy

Es un conocido efecto óptico. Al parecer podemos comernos una onza, sin que se pierda nada de chocolate. Por supuesto, eso es imposible. Si lo hacéis con cartón o tarjetas de verdad, también lo parece, pero si calculáis la superficie final del chocolate, veréis que algo se ha perdido. Aquí tenéis una explicación más detallada.

La cuestión es que algunas “demostraciones” son más una ilustración que una prueba, y en ocasiones, sólo para casos concretos.

Recordemos de nuevo a nuestro amigo pi. La diferencia entre el valor exacto de pi y suponer que vale exactamente tres, produce un error próximo al cinco por ciento… nada más.

Hace poco he visto a unos profesores que se alegraban de que un estudiante había entendido que los ángulos de un triángulo sumaban 180º porque había recortado un dibujo de esas tres “pequeñas cuñas” con las que simbolizamos los ángulos, las había puesto juntas y, efectivamente, parece que suman 180º.

Todo el mundo parecía feliz, otros profes que comentaban el tuit… pero yo no, y no es que sea un tiquismiquis, es que eso no prueba nada. Ni por generalidad, ni por precisión. Y, en este caso, puede probarse de veras, de una forma que no es tan compleja, a mi entender.

Imaginemos que recorremos ese triángulo andando, comenzando en un vértice y terminando en el mismo vértice mirando en la misma dirección en la que empezamos.

¿Cuántas veces hemos girado?

Tres: Empezamos a andar, giramos en el segundo vértice, seguimos andando, giramos en el tercer vértice, seguimos andando, llegamos al vértice inicial y hacemos un giro para acabar en la misma orientación que teníamos al empezar.

¿Cuántos grados hemos girado en total?

Pues si hemos acabado como estábamos… una vuelta completa: 360º

Así que la suma de los tres ángulos girados es 360º, pero esos ángulos que giramos no son los de “dentro” del triángulo, sino los de fuera.

¿Qué relación hay entre los ángulos exteriores que giramos y los interiores del triángulo?

Mirad: Imagina que empezamos en el vértice de abajo a la izquierda y estamos mirando a la derecha. Empezamos a andar todo el lado horizontal y cuando llegamos al vértice derecho tenemos que girar el ángulo en verde para poder enfilar el siguiente lado.

Fuente: Wikipedia

Por lo tanto es claro que el ángulo exterior que recorremos es 180º menos el ángulo interior.

Así que si llamamos:

A, B, C a los ángulos exteriores

a, b, c a los interiores

Podemos decir que

A = 180-a     B = 180-b     C= 180-c

¡Ya estamos preparados para la demostración!

Dijimos que la suma de los ángulos exteriores es 360º

A + B + C = 360

Sustituyendo por los ángulos interiores

180-a + 180-b + 180-c = 360

Agrupamos las letras a un lado y operamos los números…

a + b + c = 180    DEMOSTRADO.

Esto SÍ demuestra, utiliza apoyos gráficos (como darse cuenta de que al recorrer un polígono hemos de girar 360º, y ver que el ángulo interior y el exterior suman 180º), e incluso podemos hacerlo caminando y todo (a mí me toca cuando enseño programación) pero también hacemos “las cuentas” y no sacamos conclusiones “a la vista”.

De hecho, este procedimiento general supongo que a alguno le estará sugiriendo que también podríamos encontrar cuánto tienen que sumar los ángulos de cualquier polígono, en ciertas condiciones, ¿a que sí?

Intentemos ser claros, divertidos… y precisos. Si no, “entretenemos”, pero, ¿enseñamos?


La Aventura del Saber 23/01/2017

2 febrero 2017

Aquí me tenéis en la aventura del saber con el divertidísimo truco de las copas de martini. A partir del minuto 41:30

aventura-del-saber

Para los que quieran más información está la entrada del compañero Tito Eliatrón

 


Mamá, ¿cuál es el último número?

5 diciembre 2016

La pregunta del título fue el primer encuentro con el infinito, para muchos de nosotros.

En nuestras primeras experiencias nos encontramos con conjuntos finitos de cosas, nuestros juguetes, nuestros primos… o un kilo de garbanzos, que siendo muchas unidades, sigue siendo finito. Algunas cosas enormes, como nuestra ciudad, desdibujaban sus fronteras, más por inalcanzables que por necesariamente infinitas.

Pero un día, probablemente insultándonos, nos encontramos que “Tú eres tonto”-“Y, tú más” era una sucesión que no tenía por qué tener fin.

Más adelante surgen cosas como “Tú eres tonto hasta el infinito”- “Y tú hasta el infinito más uno” o bien, “Todo lo que tú digas, tú lo eres una vez más”.

La búsqueda científica, abandonada casi toda esperanza de encontrar La Verdad, se dedica a generar modelos compatibles con los hechos observados, que nos permitan entender “cómo” funcionan y de esta manera tener cierta capacidad de control sobre ellos o, al menos, de predicción.

Y esto también podemos hacerlo con el infinito.

La primera manera que se nos ocurre de saber que algo es infinito, es demostrar que no es finito. Lo hacemos por “reducción al absurdo” (de lo que ya hablamos aquí). Suponemos que es finito y llegamos a una conclusión falsa, luego la suposición debía ser incorrecta.

En nuestra infantil petición del último número, suponemos que lo hay… y en cuanto nos lo den, procederemos a sumarle una unidad para tener un número mayor. Por lo tanto… no hay un último número.

Y así, un chiquitín que no levanta un palmo del suelo acaba de demostrar la existencia del infinito.

Hace unos días Gaussianos me hizo recordar una tradicional demostración de la infinitud de los números primos. Y si os fijáis se parece mucho a lo que acabamos de hacer, remedando lo que pensabais en vuestra infancia.

Recordaréis que los números primos son aquellos que sólo se pueden dividir con resto cero entre sí mismos y el uno. Por ejemplo, 10 no es primo, porque se puede dividir de forma exacta entre dos y cinco. En cambio, 17 sí es primo.

Los números primos tienen una importancia vital en cómo codificamos nuestros mensajes secretos o privados en la actualidad, pero eso os lo cuento otro día. Hoy vamos a ver sólo que hay un porrón…

Si vamos pensando en qué números serán primos, de uno en uno… es sencillo

Sólo se consideran primos los números mayores que uno.

2

3

El cuatro, no, que es divisible por 2.

5

El seis tampoco, divisible entre 2 y 3

etc.

Para saber si un número dado es primo, voy dividiendo entre los primos anteriores

Por ejemplo, 19

19 entre dos… a 9 y sobra uno, no.

19 entre tres… a 6 y sobra uno, tampoco

19 entre cinco… a 3 y sobran cuatro, nope

Ya no hace falta seguir, cuando el resultado (3) es menor que el número por el que divides (5) puedes parar, porque sería como intentar dividirlo entre tres y eso ya lo hemos probado.

Por lo tanto el 19 es primo.

Cualquier otro número puede escribirse como el producto de números primos, por ejemplo

6 = 2·3

15 = 3·5

Los factores primos pueden aparecer varias veces

8 = 2·2·2

12= 2·2·3

Volvamos a nuestra búsqueda del infinito.

Como te digo, los números primos son infinitos… pero eso hay que demostrarlo.

Hagamos lo mismo que antes, imaginemos que el conjunto de los número primos es limitado, por ejemplo (2,3,5).

Ahora déjame que te pregunte por este número

N = (2·3·5) + 1 = 31

Dicho más sencillo, el producto de todos los primos que me has dado, más una unidad.

¿Sabes qué? ¡Es primo!

Comprobémoslo.

31 entre 2… a quince, sobra uno.

31 entre 3… a diez, también me sobra uno

31 entre 5… a seis, otra vez me sobra uno

Siempre me da como cociente el producto del resto de los primos (por los que no divido) y me sobra esa unidad que sumé. Así que he encontrado un primo más… por lo tanto, de la misma manera que antes, tu hipótesis de partida era falsa.

Lo hemos hecho con un conjunto pequeño de primos, pero puedes coger cualquier conjunto de primos, siempre que sea finito, y construir uno nuevo. Por lo tanto en este segundo encuentro con el infinito, después de tantos años, volvemos a salir victoriosos y podemos “manejarlo”, por inaprensible que parezca su concepto.

Aquí os dejo, a la orilla, os invito a que os adentréis en el infinito mar del infinito… en realidad de “los infinitos” (¡¡hay más de uno, y son infinitamente diferentes!!).

 


NUEVO LIBRO: Aproxímate

10 marzo 2016

Aquí está, mi sexto hijito: Aproxímate.

Un vistazo a sus Primeras páginas

Lo presentamos en Madrid en la FNAC de Callao el sábad0 19 de marzo (día del padre).

Presentación Madrid marzo 2016

Los amigos de otras ciudades no os despistéis que andaré de gira

Un libro donde te entregamos la fórmula secreta para ser verdaderamente científico y poder llegar TÚ MISMO a tus propias conclusiones. Mide, calcula, aproxima… decide.

A veces te decimos cómo son las cosas (y tienes que creernos), a veces te enseñamos problemas divertidos de matemáticas pero que tratan sobre camellos, cerillas y cosas así.

¿Te imaginas poder usar lo que YA SABES (sumar, restar, multiplicar, porcentajes…) para poder conocer el mundo por TI MISMO y además pasarlo estupendamente?

¿Cuánto peso aguanta un pelo? ¿Cambia mi altura durante el día? ¿Cómo sacar ventaja en un examen tipo test? ¿Cuánto pollo hay en una pastilla de caldo de pollo?

No me creas, ¡mídelo!

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Del absurdo y los hombres

6 julio 2015

Este post se ha publicado previamente en Naukas

Los matemáticos tratan de demostrar sus enunciados de formas muy variadas. Una de las más divertidas y fáciles de entender es la Reducción al absurdo.

Pensamos que algo podría ser CIERTO.

Vale, pues vamos a suponer que es FALSO (metemos una semilla podrida).

Le damos unas vueltas (siguiendo escrupulosamente las leyes de la lógica y las mates)

Llegamos a algo que resulta ser mentira… por lo que nuestra suposición inicial estaba mal.

Así que, como estaba mal suponer que era falso, hemos demostrado que es cierto… ta channnn.

Por ejemplo:

Enunciado a demostrar:

Hay infinitos números primos (de esos que no se pueden dividir exactamente entre nadie más que ellos)

1. Supongamos que hay sólo unos cuantos: p1,p2,p3… pn

2. Construimos un número multiplicándolos todos y sumando 1

3. Si dividimos ese número entre cualquiera de los primos no sale entero, sobra 1.

Un ejemplo sencillo.

– Si el conjunto de primos totales fuera 1,2,3,5

– Construimos 1·2·3·5 +1 = 31

– Dividimos por 2, nos sale 15 (el producto de los otros) y sobra 1.

– Dividimos por 5, nos sale 6 y nos sobra 1. No hay manera.

4. Por lo tanto, si el número que hemos construido no puede ser dividido exactamente por ningún otro primo, resulta que él mismo es un número primo… así que tenemos un número primo más para ese conjunto que pensamos que era limitado. En nuestro miniejemplo hemos descubierto el 31 que, efectivamente, es primo también.

5. Por lo tanto la asunción de que el conjunto de números primos era finito es falsa, así que es infinito. Hecho.

Y ahora a por los hombres… (y las mujeres, sí, y las mujeres…)

La esencia del asunto es: Si elaborando frases con corrección dices idioteces es porque estás asumiendo algún principio que es falso.

Has metido una semilla podrida y da malos frutos.

¿Recuerdas esas situaciones en las que no hay manera de generar una explicación razonable porque no aparecen más que paradojas y sinsentidos?

Pues no le des más vueltas, estás terminando una demostración por reducción al absurdo. Alguno/s de los supuestos que manejas son erróneos.

Por ejemplo:

La gente se comporta racionalmente y por eso hacen X (para casi todo X)

La gente no actúa porque no tiene información y por eso cuando son informados… siguen sin actuar

Tú mismo dices que tal actividad o persona son tu prioridad y no le dedicas casi nada de tu tiempo libre o energías

De hecho, si te atreves, te proponemos el duro juego de confrontar lo que dices de las cosas, lo que piensas de ti mismo con lo que haces… pero siéntate antes.

Quizá la solución sea LEER la vida, ESCUCHARLA, no imponerla nuestros preconceptos y prejuicios y después tratar de que case todo… porque no lo hará. O al menos, etiqueta tus prejuicios como revisables… por si las moscas.

Esto intentamos hacer en ciencia, LEER, MEDIR lo que la realidad dice e interpretarlo después, no antes. Además nuestras “verdades” son provisionales… para cuando aparezca algo que no cuadre.


Elige una puerta… si te atreves

25 diciembre 2013

Voy a contaros un juego de lógica, un acertijo.

Estás en un cruel mundo del que debes escapar y hay dos puertas para hacerlo.

El problema es que una de ellas te conduce a una muerte segura, aunque si tomas la otra te salvarás.

Delante de cada puerta hay un guardia, a los que podrás hacer una y sólo una pregunta.

Bien, es fácil, preguntemos “¿Cuál es la puerta buena?”.

Hay otro problema, uno de los dos dice la verdad, pero el otro miente… y no sabemos cuál es.

Resumiendo: Con una sola pregunta debo decidir qué puerta es la buena.

Este acertijo salía en la película Dentro del laberinto

Os dejo la escena

¿Qué tal? ¿Queda claro?

La pregunta es: ¿Qué me diría el otro si le preguntara si su puerta es correcta? Y lo que tienes que hacer es lo contrario de lo que responda.

La cuestión parece enrevesada, pero piensa esto: Uno dice la verdad y el otro miente… así que si encadenas la respuesta de uno con la del otro siempre será mentira!  Me da igual que el primero mienta y el segundo diga la verdad o viceversa (Más por menos y menos por más… ambos dan menos, o sea, mentira)

Este tipo de acertijos son muy divertidos y muy estimulantes para el coco… y puedes encontrar muchos en los libros de Raymond Smullyan.

¿Jugamos a jugar con la mente?

Puede que no sea una mala idea para un regalo de Reyes, siempre que ya tengáis alguno de mis libros…

Pero lo realmente preocupante son expresiones como esta…

Esta frase es mentira

La autorreferencia y la incapacidad de una teoría para hablar de sí misma es un problema inquietante que muestra unas grietas en el precioso edificio de las Matemáticas, preguntad a Gödel (creo que aún le dura la cara de sorpresa) y a través de las cuales quizá se vislumbre algo…


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