Quizá este podía ser el título alternativo a mi sexto libro, Aproxímate, donde trato este tema.
Las matemáticas de las ciencias experimentales tienen unas particularidades que, en mi opinión, no se tratan suficientemente o se obvian, tanto en las clases de matemáticas… como en las de ciencias experimentales(!) en la educación secundaria.
Una de las cosas en las que hago más incidencia es en el manejo de errores, incertidumbres, aunque sea de manera somera, simplemente usando cifras significativas al expresar resultados.
En el Mundo Real™ no existe 1/3 ni raíz de 2.
Tampoco existe una resistencia de 15/7 por más que te hayas puesto a hacer denominador común en la fórmula de las resistencias en paralelo. No existe.
Poner R = 15/7 Ω es una barbaridad. Ya me disculparán.
Quizá les tranquilice saber que tampoco existe el valor 200 Ω, ni el 124, ni el 5.
CUALQUIER magnitud que hayas medido con un aparato o que hayas calculado a partir de la medida de otras lleva asociada una incertidumbre. SIEMPRE.
Así que debería escribirse, por ejemplo, R = 235 ± 7 Ω.
Por lo tanto sólo tiene sentido expresar las cifras que lleguen hasta donde el margen de error hace que pierdan sentido. Por ejemplo, si te digo que te voy a pagar 1234 ± 200 €, ¿crees que esos cuatro euros significan algo, cuando el valor del que hablamos oscila entre los mil y los mil cuatrocientos? Esa cantidad la expresaríamos así: 1200 ± 200 €.
En el caso de la resistencia eléctrica de un aparato, es más grave todavía, porque más allá de la incertidumbre que tengas sobre su medida, su propio valor varía según las condiciones de uso, la temperatura, etc. Así que llenar de decimales, escribir un número periódico son cosas absurdas desde el punto de vista de lo que significa esto.
Piensa en que tu peso, que a lo largo del día varía en KILOS según lo que comas, gastes y cagues. ¿Crees que tiene algún sentido dar el valor general de tu peso en microgramos?
Una buena práctica, para alumnos de secundaria que no involucra el tratamiento avanzado de errores, consiste en mantener cierta consistencia con las cifras significativas que se usan. Os lo explicaba en este post, básicamente consiste en poner tres cifras de las que transmiten «información».
0,0054367 lo aproximaría con tres cifras a 0,00544. Los cero sólo me indican el orden de magnitud, si no lo ves claro, piensa que podría escribirlo así 5,44 · 10^-3 y ahí estaría claro que sólo tiene tres cifras con «información». Mira el post si te quedan dudas.
De esta forma, los estudiantes pueden ir expresando sus resultados en forma de decimales truncados al nivel de precisión que involucra el problema, lo que es una excelente actitud experimental.
Para que no se me enfaden los matemáticos, si queréis que den una longitud como 2√5 al menos que pongan al lado ese valor truncado y redondeado a la cantidad de cifras significativas que TIENEN SENTIDO. Ojo, es que es un asunto científicamente grave.
Longitud = 2√5 m (4,47 m)
Y así nos quedamos todos a gusto. Y no, no pienso poner un «aproximadamente igual» porque eso supondría aceptar que el primer resultado es EXACTO, cosa que en un problema con valores realistas NO ES CIERTO. Otra cosa es que dibujéis un cuadrado «abstracto» de lado uno. En ese caso, su diagonal es raíz de dos… pero si es un campo, una caja o algo real, entonces, lo siento mucho, pero no.
Hoy hablaba con unos compañeros sobre las regresiones lineales.
Son una herramienta imprescindible en la ciencia experimental. Tomamos datos de dos variables que están relacionadas de forma lineal (afín, para los tiquismiquis) y buscamos la «mejor» recta que generaliza esas medidas.
Soy de los jóvenes solo de espíritu a los que aún les tocó hacer los sumatorios a mano, pero hoy se los encargamos a las máquinas y mejor para todos.
Total, que buscamos la recta que minimiza la suma de las distancias al cuadrado medidas en el eje y, lo que nos arroja los valores de la pendiente y la ordenada en el origen en la recta y = mx + n.
También es conocido el «coeficiente de correlación», la famosa r, que nos indica cómo de buena es esa recta, más allá de ser la mejor (con un millón de peros y salvedades, como sabréis)
Pero todo esto es bien conocido, Panadero, ¿por qué nos traes hasta aquí?
Pues por algo que no suele hacerse o comentarse y que me parece a la vez útil y fácil.
Y es explicitar que m y n también tienen una incertidumbre asociada a lo bueno que sea el ajuste lineal.
Y no estoy pidiendo que se conozcan las fórmulas o se calculen, PORQUE TAMPOCO SE HACE CON R, y aun así, podemos manejar tanto el valor de r como su significado, ¿verdad?
En ciencia experimental esa gráfica podría estar representando lo que se deforma un muelle frente a la fuerza aplicada, el voltaje respecto de la frecuencia o una desintegración radiactiva. En todos esos casos la pendiente tiene un significado físico, representa a una magnitud o a una combinación de magnitudes que son JUSTO LAS QUE QUEREMOS MEDIR en ese experimento.
Por esto es CRUCIAL saber si la pendiente es m = 0,2357 o es solamente m = 0,24 porque a partir de ahí voy a estimar lo que quería calcular y NECESITO saber su error asociado cuando escriba el resultado. A partir del valor e incertidumbre de la pendiente, iré calculando lo necesario propagando el error adecuadamente o, (aunque sea) al menos, manteniendo el número de cifras significativas.
¿Veis algún problema en que cuando el ordenador os «escupa» los valores de (m, n, r) os dé también Δm y Δn? El significado es claro y las fórmulas las puedes obviar tanto como la de r.
Si te dicen que m = 17,5628 y Δm = 0.2378
El error se redondea a una cifra (salvo cuando esa cifra es uno) Δm = 0.2
La magnitud se expresa hasta donde afecta el error m = 17,6
Quedando m = 17,6 ± 0,2 (unidades correspondientes)
¿No es una manera estupenda de responder a la pregunta: «Profe, ¿cuántos decimales cogemos para la m?»
Para los curiosos, en este enlace tenéis cómo se obtienen todas las fórmulas de las que hablamos.
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