Mamá, ¿cuál es el último número?

La pregunta del título fue el primer encuentro con el infinito, para muchos de nosotros.

En nuestras primeras experiencias nos encontramos con conjuntos finitos de cosas, nuestros juguetes, nuestros primos… o un kilo de garbanzos, que siendo muchas unidades, sigue siendo finito. Algunas cosas enormes, como nuestra ciudad, desdibujaban sus fronteras, más por inalcanzables que por necesariamente infinitas.

Pero un día, probablemente insultándonos, nos encontramos que “Tú eres tonto”-“Y, tú más” era una sucesión que no tenía por qué tener fin.

Más adelante surgen cosas como “Tú eres tonto hasta el infinito”- “Y tú hasta el infinito más uno” o bien, “Todo lo que tú digas, tú lo eres una vez más”.

La búsqueda científica, abandonada casi toda esperanza de encontrar La Verdad, se dedica a generar modelos compatibles con los hechos observados, que nos permitan entender “cómo” funcionan y de esta manera tener cierta capacidad de control sobre ellos o, al menos, de predicción.

Y esto también podemos hacerlo con el infinito.

La primera manera que se nos ocurre de saber que algo es infinito, es demostrar que no es finito. Lo hacemos por “reducción al absurdo” (de lo que ya hablamos aquí). Suponemos que es finito y llegamos a una conclusión falsa, luego la suposición debía ser incorrecta.

En nuestra infantil petición del último número, suponemos que lo hay… y en cuanto nos lo den, procederemos a sumarle una unidad para tener un número mayor. Por lo tanto… no hay un último número.

Y así, un chiquitín que no levanta un palmo del suelo acaba de demostrar la existencia del infinito.

Hace unos días Gaussianos me hizo recordar una tradicional demostración de la infinitud de los números primos. Y si os fijáis se parece mucho a lo que acabamos de hacer, remedando lo que pensabais en vuestra infancia.

Recordaréis que los números primos son aquellos que sólo se pueden dividir con resto cero entre sí mismos y el uno. Por ejemplo, 10 no es primo, porque se puede dividir de forma exacta entre dos y cinco. En cambio, 17 sí es primo.

Los números primos tienen una importancia vital en cómo codificamos nuestros mensajes secretos o privados en la actualidad, pero eso os lo cuento otro día. Hoy vamos a ver sólo que hay un porrón…

Si vamos pensando en qué números serán primos, de uno en uno… es sencillo

Sólo se consideran primos los números mayores que uno.

2

3

El cuatro, no, que es divisible por 2.

5

El seis tampoco, divisible entre 2 y 3

etc.

Para saber si un número dado es primo, voy dividiendo entre los primos anteriores

Por ejemplo, 19

19 entre dos… a 9 y sobra uno, no.

19 entre tres… a 6 y sobra uno, tampoco

19 entre cinco… a 3 y sobran cuatro, nope

Ya no hace falta seguir, cuando el resultado (3) es menor que el número por el que divides (5) puedes parar, porque sería como intentar dividirlo entre tres y eso ya lo hemos probado.

Por lo tanto el 19 es primo.

Cualquier otro número puede escribirse como el producto de números primos, por ejemplo

6 = 2·3

15 = 3·5

Los factores primos pueden aparecer varias veces

8 = 2·2·2

12= 2·2·3

Volvamos a nuestra búsqueda del infinito.

Como te digo, los números primos son infinitos… pero eso hay que demostrarlo.

Hagamos lo mismo que antes, imaginemos que el conjunto de los número primos es limitado, por ejemplo (2,3,5).

Ahora déjame que te pregunte por este número

N = (2·3·5) + 1 = 31

Dicho más sencillo, el producto de todos los primos que me has dado, más una unidad.

¿Sabes qué? ¡Es primo!

Comprobémoslo.

31 entre 2… a quince, sobra uno.

31 entre 3… a diez, también me sobra uno

31 entre 5… a seis, otra vez me sobra uno

Siempre me da como cociente el producto del resto de los primos (por los que no divido) y me sobra esa unidad que sumé. Así que he encontrado un primo más… por lo tanto, de la misma manera que antes, tu hipótesis de partida era falsa.

Lo hemos hecho con un conjunto pequeño de primos, pero puedes coger cualquier conjunto de primos, siempre que sea finito, y construir uno nuevo. Por lo tanto en este segundo encuentro con el infinito, después de tantos años, volvemos a salir victoriosos y podemos “manejarlo”, por inaprensible que parezca su concepto.

Aquí os dejo, a la orilla, os invito a que os adentréis en el infinito mar del infinito… en realidad de “los infinitos” (¡¡hay más de uno, y son infinitamente diferentes!!).

 

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4 Responses to Mamá, ¿cuál es el último número?

  1. Ojo, Javier, mucho cuidado con la prueba de la infinitud de los primos. Lo que se obtiene al multiplicar un conjunto de primos y sumar 1 es un número que tiene un divisor primo que no es ninguno de los que hemos multiplicado (y eso, ciertamente, nos dice que hay algún primo que no estaba en nuestro conjunto). Ahora bien, no sabemos nada sobre el hecho de que ese número sea primo o no: a veces lo es, como en tu ejemplo 2·3·5+1=31, a veces no lo es, como en 2·3·5·7·11·13+1=30031=59·509. Así, no podemos afirmar que el producto de nuestros primos más 1 sea primo, como decía en la entrada.
    ¡¡Saludos!!

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  2. Antonio Merino dice:

    Gracias por la gratuita ensenanza: asi como el DAR ES INFNITO AL IGUAL QUE EL APRENDER SON INGINITOS….

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