Experimento: Midamos el movimiento del ascensor con el móvil

21 febrero 2020

ACTUALIZACIÓN

Vídeo con la resolución

Os dejo con el experimento que nos enseñó Pablo Rodríguez en su estupendo artículo Un empollón en mi ascensor

Pablo hacía los cálculos con Python, mi aportación es hacerlos usando una hoja de cálculo, para que lo hagan como ejercicio alumnos míos que están en ello, y quizá otros estudiantes con menos habilidades en programación.

Que lo disfruten.

Compartan y, si les gusta/quieren y pueden… colaboren. KO-FI

 


Manual de prácticas de Hojas de Cálculo y datos estadísticos

23 enero 2020

Aquí os dejo un manual de prácticas de hojas de cálculo (usaremos Google Sheets por la facilidad de trabajar online) pero aplicado a la obtención y tratamiento de “microdatos” tomados de fuentes públicas, de forma que quien lo use se sienta con el “poder” de comprobar por sí mismo esas afirmaciones en los medios, por ejemplo.

Gracias en gran parte a las aportaciones de Guillermo Peris y a la ayuda técnica de Gaby Jorquera.


Resultados en problemas, ¿fracciones, raíces o sólo decimales?

10 diciembre 2019

¿Es adecuado dar como respuesta de un problema “2/7 metros”?

A mi entender, no. Me explico.

Ese número que he puesto tiene infinitos decimales, pero lleva unidades… porque se refiere a una magnitud física, a algo medible. Puede que sea la respuesta a “¿Cuántos metros de tela nos corresponden a cada uno si hemos comprado dos y somos siete personas?”.

¿Y qué problema le ves, Panaderito nuestro, a que el reparto de dos metros de tela entre siete personas se exprese como “dos séptimos”? No puede ser más obvio.

PUES CLARO QUE VEO PROBLEMAS. YO SIEMPRE VEO PROBLEMAS… Y NO MENORES.

Parece que ya (casi) todo el mundo ha asumido que dar una magnitud física sin las unidades es una barbaridad. Por ejemplo, si me preguntas a qué distancia vivo de ti y te respondo “CINCO”, bien puedo ser tu vecino de portal (a cinco metros), de ciudad (kilómetros) o alguien que ande no muy lejos de la estrella Proxima Centauri (a cinco años-luz). De forma que “CINCO” no es una respuesta válida, ni siquiera aproximada. No contiene ninguna información que se pueda usar.

Pero aún seguimos teniendo la “asignatura pendiente” de LA INCERTIDUMBRES, LOS ERRORES EN LAS MEDIDAS.

Volviendo al ejemplo de la tela. Las siete personas, son siete, venga, eso te lo acepto, pero los dos metros de tela, ¿son dos metros exactos? Imposible, ¿verdad? ¿Ni un átomo de más ni uno de menos?

Lo más probable es que sean dos metros, “centímetro arriba, centímetro abajo”, o quizá unos cuantos centímetros extra, o quizá lo hayan cortado con mimo exquisito, pero sigamos teniendo una tolerancia de unos milímetros. O pudiera ser que la tela encogiera o se expandiera según la humedad ambiente…

Y mil cosas más que nos indican que ese dos, no era un DOS, era un 2,0 ± 0,1 m, si tenemos una incertidumbre de 10 centímetros, o bien 2,00 ± 0,01 m, si nuestra incertidumbre es de un centímetro.

Y ahora dime tú: Si no sabíamos si había un centímetro de más o uno de menos, ¿cómo puedo decir que la parte que me toca es de 2/7 m = 0,28571429… m? ¿Cómo puedo decir que me tocan veintiocho centímetros y medio, con siete décimas de milímetro, y una centésima de milímetro, y cuatro micras y… ¿Qué sentido tiene eso? NINGUNO, ya te lo digo yo.

Si tengo un error de un centímetro en la medida original y divido por siete, debo expresar el resultado con milímetros y no mucho más, los demás números NO TIENEN SENTIDO, por mucho que lo diga la calculadora. Los números que arroja la calculadora hay que interpretarlos, no son la verdad revelada por Dios.

Vemos con claridad, ahora, que el error con el que conocía la medida original me condiciona la precisión con la que puedo dar el resultado.

Así que, si estamos haciendo un problema de matemáticas ABSTRACTO, en las que las cifras no se refieren a nada en particular -porque podrían referirse a cualquier cosa (benditas matemáticas)- ahí no hay ningún problema en que el resultado sea 2/7, Pi, o raíz de 2, PEEEEEERO, si estamos resolviendo un problema del MundoReal™, en el que la ciudad A está a diez kilómetros de la ciudad B, tengo una tela de dos metros, un campo de 3 hectáreas… todas esas cifras llevan asociada una incertidumbre en su medida, que condiciona la que podamos dar en el resultado.

Es una convención corriente que, si no se indica lo contrario, el error es de ±1 en la última cifra que pongamos. Así 2 m lo entendermos como 2 ± 1 m. En cambio 2,0 será 2.0 ± 0,1 m. Y, como veis, tiene todo el sentido poner 2,000 y es un número distinto a 2. En el primero hemos medido esos tres decimales y han salido cero, como podrían haber salido 5, 7 y 3. Sin embargo cuando decimos que la medida es 2, se entiende que no tenemos ni idea (porque no los hemos medido) del valor de los decimales.

Y ahora dejadme que vaya un paso más allá.

Cuando hacemos cálculos sobre el MundoReal™ no solamente tenemos medidas con incertidumbres, es que estamos haciendo números SUPONIENDO que la realidad se aproxima a un MODELO, más o menos preciso de cómo creemos que funciona. Por ejemplo, cuando hacemos cálculos sobre cuánto tarda algo en caer (una distancia de metros) solemos despreciar el efecto del aire, por ser pequeño, cosa que está muy bien, pero que ya supone que nuestro resultado no será “exacto”, sino aproximado. Y, de nuevo os pregunto, ¿qué sentido tiene hacer un cálculo dentro de un modelo aproximado y dar el resultado con infinitos decimales, si el error del modelo ya afectaría al tercer decimal?

Creo que además de divulgar estas cosas al público en general, debemos ir procurando que vayan calando en el alumnado, porque este es el uso particular que hacemos de las matemáticas en las ciencias experimentales y es necesario aprenderlo y aplicarlo correctamente.

Si os gustan estas cosas, os escribí un libro completo, Aproxímate, que tenéis sólo en las mejores librerías. Experimentos caseros con los que te enseño las matemáticas de las ciencias experimentales desde cero, la varita mágica que te dirá cómo funciona las cosas sin tener que creerte a nadie, porque: “El que mide, sabe, el que no, sólo opina”.


Yo fui un crackpot adolescente

9 diciembre 2019

Fuente: Wikipedia

Es posible que hayáis oído este término: crackpot. En el entorno científico suele aplicarse a personas que aparecen con un puñado de folios refutando (normalmente) a Einstein, que acaban de encontrar la Teoría del Todo, o tienen varias ideas para móviles perpetuos.

Son gente que producen a la par risa y rechazo. Cualquier investigador se ha encontrado con correos electrónicos, o con “preguntas” de largo desarrollo en conferencias, o incluso abordajes personales de estos especímenes.

Este no es un post para hacer más sangre… sino, curiosamente, para defenderlos. Vamos al lío.

Algo muy curioso es que cualquiera se suma al linchamiento, más allá de su nivel de conocimientos científicos. Quiero decir, que hay un numeroso grupo de personas da por buenas las ideas de Einstein, sin tener ni puta idea de en qué consisten exactamente, ser capaz de reproducir los cálculos o mínimamente consciente de lo anti-intuitivas que son. Y justo este último punto es el que me parece más interesante.

Entiendo que todos asumimos el consenso de la Comunidad científica como lo más próximo a un saber empírico, aunque se nos haya comunicado y hayamos tenido que aceptarlo por argumento de autoridad, pero no olvidemos que dista mucho de ser “sentido común”, que es de la falta de la que se le acusa al crackpot.

“Y el gilipollas este dice que refuta a Einstein, no te jode, ahí en su casa meciendo la cuna de su hijo, a ratos entre su trabajo en la oficina de patentes.”

Vaya, más o menos lo que pasó, si donde pone “Einstein” ponemos a Galileo y a Newton, y donde pone “gilipollas”, ponemos a… Einstein.

Para quien no lo sepa, la relatividad especial tiene como uno de sus acicates, arreglar los “cambios de coordenadas” de Galileo porque no funcionaban bien con las ecuaciones del electromagnetismo de Maxwell. Lorentz hizo el apaño, pero el sustrato teórico se lo da Einstein de manera que ahora, cualquier estudiante de los primeros cursos universitarios de ciencias es capaz de reproducir la derivación de las ecuaciones a partir de estos postulados.

  1. El espacio vacío es homogéneo (no hay puntos de sean diferentes de otros). Muy normal.
  2. El espacio vacío es isótropo (no hay direcciones que sean “mejores” que otras). Muy normal.
  3. La velocidad de la luz es constante, para cualquier observador, te alejes o te acerques a la fuente. Muy norm… digo, ¿QUÉ COJONES ES ESTO?

Alguien “normal” podría responder a esto:

  • Vamos a ver, si viene un coche a 40 km/h hacia mí y yo voy hacia él a 10 km/h es como si yo estuviera parado y él viniera a 50 km/h, ¿no? Y si me alejo a 10 km/h, sería como si yo estuviera parado y él viniera a 30 km/h, ¿no? O sea ¿¿¿NOOO??? VAMOS, DE TODA LA PUTA VIDA. Móntate en tu coche y te lo demuestro cuando quieras.

¿Es el tercer postulado algo que tenga que ver lo más mínimo con lo que llamamos “sentido común”? ¿No es todo lo contrario a nuestra intuición, hija de nuestra experiencia?

En realidad es un HECHO EXPERIMENTAL.

No es una deducción geométrica a partir de principios elementales, no es algo de un “sentido común aumentado” de personas con conocimientos matemáticos. Es un PUTO HECHO EXPERIMENTAL.

Algo que a los empíricos científicos no nos queda más remedio que aceptar y, si podemos, encontrarle una explicación dentro de las teorías conocidas, o buscar arreglos, o incluso teorías nuevas.

¿Tiene algo que ver la capacidad manipulativa de ideas, digamos la inteligencia, con que uno conozca unos hechos experimentales o los desconozca? Quiero decir, ¿está bien que me llamen tonto por no saber lo que ha salido en un experimento? Porque con esas, son tontos todos los grandes científicos y pensadores del pasado (y del presente).

Algo parecido pasa con los móviles perpetuos, tanto de primera especie (los que violan la primera ley de la Termodinámica, aquello de la conservación de la energía) como los de segunda especie (los que violan la segunda ley de la Termodinámica, aquello de la entropía).

Fijaos que he puesto “ley” y no “principio” como a veces escribimos incorrectamente, porque son, una vez más, LEYES EMPÍRICAS, no principios de sentido común ni resultados matemáticos de postulados irrenunciables. De hecho si mañana encontramos un punto en el universo del que brota energía o donde se “pierde”, o encontramos un proceso en el que se viole el segundo principio (cosa de la que no vemos atisbo ni lo esperamos, por mucho que nos moleste), tendremos que coger el lápiz y el borrador y reescribir nuestras leyes, porque son los hechos experimentales y no nuestros gustos, los que las validan.

Hombre, Panaderito nuestro, es que si cada día hay mil personas que se creen que han refutado a Einstein, lo normal es que la mayoría se equivoquen.

No, lo normal es que TODOS se equivoquen, pero a lo que voy es a que:

  1. No es el sentido común lo que marca que se equivocan
  2. La respuesta que les damos, “el jefe decía lo contrario”, es la misma que recibieron los que en el pasado NO se equivocaron: Einstein o Galileo, por ejemplo.
  3. La gran mayoría de los que les acusa de tarados no está en condiciones de demostrar que están equivocados más allá del argumento de autoridad.

¿Dices entonces, querido Panadero, que les tenemos que tolerar, escuchar, dar pábulo, publicarles en Science?

En absoluto. Haced lo que os parezca: podéis obviar a quien presente una máquina de movimiento perpetuo, podéis decirles que ponga a funcionar un prototipo durante un año si quiere hablar con vosotros, podéis hacer el ejercicio de construirlas vosotros o intentar averiguar por qué no funcionan (en algunos casos los detalles son muy instructivos, a mí me encantó intentar hacer una de mecha, muy sencilla -igual os hago un vídeo), pero nunca jamás digáis que los detalles por los que se equivoca o su refutación, son obvios para cualquiera.

Y todo esto tiene que ver con qué es la ciencia, qué es el empirismo, qué es el argumento de autoridad, qué diferencia hay entre las matemáticas y los saberes autocontenidos con las ciencias experimentales, la dificultad del empirismo y la necesidad de confiar en la Comunidad científica… cosas de las que se habla poco y se enseña quizá menos.

BONUS:

Y si habéis llegado hasta aquí, tenéis derecho a saber a qué se refiere el título.

Pues yo mismo (y no siendo tan adolescente) me animé a mandar un correo de crackpot. Ni recibí respuesta, ni insistí. Solo me picaba tanto la idea que se la hice llegar a alguien con conocimientos en el tema por si era de utilidad. Y la idea era la siguiente:

¿Podría ser de utilidad, contra los virus, inyectar “trozos” de membrana celular en la sangre, de manera que los virus se enganchasen ahí, pensando que era una célula de verdad, y soltasen su contenido genético “errando el tiro”?


Como simular un dado de 7 caras

1 diciembre 2019

Fuente: Wikipedia

Son preguntas que se hace uno a las dos de la mañana… porque los amigos @lobo_tic y @jcarolinares no le dejan a uno dormir.

La idea es intentar simularlo con dados normales en lugar de tener que comprar, fabricar uno especial.

En esta página nos muestran sistemas muy curiosos y sencillos.

Básicamente repetir tiradas, escoger un múltiplo de lo que buscamos (por ejemplo 7) y descartar las tiradas que nos sobren.

Por ejemplo, al final del artículo ponen una tabla donde tiran dos dados, que le dan 36 casos, diferentes. Descartan uno de ellos, y los demás los juntan en siete grupos de cinco casos que asignan al uno, al dos, al tres… hasta el siete.

Como andaba yo dándole a la cabeza a casos y tal… os pongo una solución aproximada a la que he llegado que también tiene su gracia.

Si tiro TRES DADOS COMUNES los casos posibles son 216 y las sumas posibles, desde el 3 hasta el 18.

Con este sencillo código Python podéis ver cuántos casos hay para cada suma

print(‘Para tres dados’)
resultado3 = {} #diccionario vacío
    for i in range(1, 7):
        for j in range(1, 7): #recorro todos los resultados
            for k in range(1, 7):
                suma = i + j + k
                if suma in resultado3: #si la suma está, añado un caso más
                    resultado3[suma] += 1
                else: #si no está, meto la suma y pongo 1 caso
                    resultado3[suma] = 1
print(‘Suma Casos’)
for numero,casos in resultado3.items():
    print(numero,casos)

Y este es el resultado

Para tres dados
Suma Casos
3 1
4 3
5 6
6 10
7 15
8 21
9 25
10 27
11 27
12 25
13 21
14 15
15 10
16 6
17 3
18 1

¿Podríamos agrupar distintas sumas para tener siete grupos equiprobables?

No, porque 216 no es divisible por 7… pero casi, porque 217 sí lo es.

Así que si conseguimos 6 grupos de 31 casos y un grupo de 30, tenemos una CASI solución.

¡¡Y ES POSIBLE!!

Las siguientes sumas nos dan 31:

27+3+1

25+6

21+10

Nos queda “colgada” 15 y 15.

Así que, podemos hacer, por ejemplo:

SUMA : VALOR

3,4,10 es UNO

5,9 es DOS

6,8 es TRES

7,14 es CUATRO

11,17,18 es CINCO

12,16 es SEIS

13,15 es SIETE

Si calculáis las probabilidades, del teórico 14,286% pasamos a un 14,35% (para 31 casos) y 13,89 (para 30 casos), que supongo están más que dentro del margen de sesgo que un dado REAL nos da.

Así que ya sabéis, si necesitáis un dado de siete, podéis conseguirlo o con dos dados distinguibles (o dos tiradas consecutivas de un dado) y mirando uno de los treinta y cinco casos, o con mi método aproximado atendiendo a la suma.

Espero que os haya entretenido y dedico este post a estos dos personajazos (y al resto de los que anduvieron en la conversación) y a lo bonito que es compartir saberes y risas.

ACTUALIZACIÓN

Aunque, como el que sabe, SABE… Tito Eliatron, el gran divulgador matemático nos da una elegantísima y sencilla solución, no sólo para 7 sino para cualquier primo de Mersenne (una potencia de dos, menos uno). En nuestro caso, 7 es dos al cubo menos uno.

Tirar n monedas y descartar un caso. Fin.

Para nosotros, tres monedas.

Con la ventaja de que si pensamos en cara como cero y cruz como uno, y descartamos el cero-cero… No tenemos que memorizar nada, porque el valor lo leeremos directamente de las monedas, en BINARIO.

Gracias, Tito. IMPRESCINDIBLE.


La magia del nonius. Medir más allá de lo posible.

10 septiembre 2019

El nonius es uno de esos “cacharros” que parecen magia por mucho que conozcas las reglas que lo rigen o seas capaz incluso de construirlos, lo mismo que pasa con el giróscopo.

Lo primero que tenemos que saber hacer es dividir un segmento en el número de veces que queramos, aunque numéricamente no sea demasiado sencillo.

Por ejemplo, dividir un segmento cualquiera en un número de partes arbitrario. Aquí podéis verlo, es sencillo.

Ahora, asumiendo que podemos hacer eso, vamos a por el nonius.

Imagina que tenemos una regla usual que llega hasta los milímetros y que estamos interesados en poder medir DÉCIMAS de milímetro.

El truco consiste en añadir una regla móvil de la siguiente manera.

Fíjate que lo que hemos hecho es tomar NUEVE milímetros y dividirlo en DIEZ partes, algo que podemos hacer con el truco del que acabamos de hablar. Hasta ahora no hemos necesitado ningún instrumento más preciso que nuestra regla convencional de partida.

La regla inferior es la móvil. A partir de ahora vamos a empezar a moverla y a observar cuidadosamente lo que ocurre.

Todas las figuras que vamos a usar son de Dnu72 y pueden encontrarse en esta página de la Wikipedia.

Primero, y dado que “nos falta” un milímetro, verás que sólo nos coincide la primera línea de la regla inferior con una de la regla superior. Es resto están un poco desplazadas.

¿Qué ocurre si hago coincidir el 10 de ambas escalas? Pues sería una situación parecida, coincidirían las líneas del 10, pero ninguna otra. ¿Cuánta distancia habríamos movido la regla inferior? Un milímetro, que es justo lo que habíamos querido quedarnos cortos.

¿Qué pasa en las situaciones intermedias? Pues si pongo la regla en la posición inicial y la desplazo un poco a la izquierda, coincidirá la línea del “uno de abajo” con una de las de arriba, como podéis ver aquí. Y es la ÚNICA que coincide.

Si lo muevo un poquito más, ahora coincidirá la “línea del dos” y, de nuevo, es la única que coincide. Al “faltar” un milímetro en la escala móvil, sólo nos va a coincidir una línea cada vez.

Total, que según nos vamos moviendo, nos irán coincidiendo las líneas una a una hasta llegar a que nos coincidan los dos 10.

Aquí, por ejemplo, coincide la línea del seis (recuerda, nos importa la línea que coincide abajo, no con quien coincide arriba. La de arriba es la línea de los siete milímetros, pero ¡la de abajo es la del seis!)

Resumamos, porque acaba de producirse la MAGIA.

  • Desde que nos coinciden los ceros hasta que nos coinciden los 10, la distancia recorrida es un milímetro.
  • Durante ese movimiento van coincidiendo las diez líneas dibujadas, una a una.
  • Que están igualmente espaciadas…

Pues, compañeros, cada vez que te coincida una línea habrás avanzado ¡UNA DÉCIMA DE MILÍMETRO!

¿No es impresionante?

Con una regla que sólo puede medir milímetros y un poco de ingenio, puedo medir ¡décimas de milímetro!

Aquí tenéis un simulador en el que podréis ver cómo sucede lo increíble

Este artilugio que se llama nonius va acoplado a multitud de aparatos de medida, quizá el más común, el calibre.

Es una herramienta imprescindible en cualquier taller, como ves, lista para medir exteriores (abajo), interiores (arriba) y profundidades (derecha), leyendo la medida siempre en la misma escala.

De la página del simulador os pongo esta captura para contaros cómo se lee la medida.

La manera de leerlo es la siguiente. Primero leemos los milímetros que llevamos pasados, es decir, que ya haya superado el cero de la regla móvil. En nuestro caso 12.

Después sumamos tantas décimas como el número de línea de la escala inferior que coincida con una línea de arriba. En nuestro caso 4.

Así que esta medida son 12,4 mm.

Si te fijas en el dibujo, efectivamente el cero ha pasado del 12 y está ligeramente por debajo de la mitad de ese milímetro.

Por supuesto os he contado una versión sencilla para que entendáis el ingenioso artificio. El que quiera ver diferentes maneras de implementarlo para obtener distintos alcances en la medida y sus fórmulas generales, puede consultar la entrada de Wikipedia, donde encontrará un detallado análisis.


Exámenes: ¿Problemas tipo o problemas de idea feliz?

10 junio 2019

Fuente: Wikipedia

Si le preguntas a los alumnos se decantarán claramente por el primer tipo, pero más allá de sus gustos o intereses, discutamos qué opciones son pedagógicamente más interesantes, como profesores y como científicos.

Reconozco la falsa dicotomía del título ya que. en realidad, todos los profesionales estaremos de acuerdo en que lo ideal es un problema que pueda resolverse con los conocimientos que deben demostrar, pero que no resulte tan sencillo como para ser un ejemplo común que puedan haber memorizado sin mayor comprensión.

¿Dejamos aquí el post? Nada de eso.

Como en tantas ocasiones, es muy fácil escribir una solución que sea casi tautológica o autorreferente, de forma que sea innegable, pero a la vez no dé ninguna pista de como podría concretarse.

¿Cuál es ese ejercicio magnífico en el que tienen que usar de manera comprensiva los conocimientos que les enseñamos, pero que ni es el mismo problema del libro con los datos cambiados, ni algo que no pueda resolverse sin darse cuenta de un detalle especial que ni siquiera tiene que ver directamente con lo que les enseñamos?

Mi tesis es que… no existe. Nuestros esfuerzos por salir de los problemas tipo suelen acabar en problemas de idea feliz.

Puede ser que esto sea mucho más cierto en los niveles menos sofisticados de la educación, aunque por esto me refiera incluso a los primeros cursos universitarios.

Pero esto a mí no me preocupa. Me gustan los problemas tipo… porque me gusta la ciencia.

Me explicaré. Me gustan las regularidades que encontramos en la naturaleza, me gustan los patrones, me gustan las fórmulas, me gusta que los que nos precedieron se dieran cuenta de que de aquella manera se podía resolver un problema o muchos.

Me gustan los sistemas, los protocolos. Acercarme a un problema y saber que puedo aplicar ciertas “técnicas” y resolverlo, de una manera sistemática.

Algo distinto es “adornar” los problemas, por ejemplo, casi todos los profesores que hemos enseñado física hemos puesto ese problema de caída de objetos en los que se calcula desde qué piso se tiró el tiesto que mató a la víctima de un asesinato o cosas parecidas, pero hay unas fórmulas, hay unas maneras de plantear el problema, hay unas condiciones para la altura máxima, para el tiempo de vuelo.

Lo mágico de las regularidades matemáticas de la naturaleza es que, con este sistema, podemos resolver “cualquier” problema.

Recordemos de nuevo que en los primeros niveles de conocimiento estamos enseñando las técnicas básicas y que es justo eso de lo que tenemos que examinar a nuestros estudiantes. ¿Sabe resolver una integral racional? ¿Sabe calcular el alcance máximo de un tiro parabólico? ¿Sabe diagonalizar una matriz?

Creo que parte del problema es que entender algo y tener la habilidad de hacerlo de una manera eficiente son dos cosas que pueden no estar relacionadas, necesariamente.

Por ejemplo, es necesario conocer las tablas de multiplicar y ser capaz de hacer esa operación de una forma rápida y eficiente, más allá de que sea una suma de sumandos iguales. Se puede tener una profunda comprensión de la definición y tardar una barbaridad en resolverlo, haciendo la suma de los sumandos iguales, o haber olvidado eso pero ser capaz de aplicar el algoritmo, dando un resultado fiable en segundos.

Ningún profesor busca activamente la incomprensión de sus alumnos (salvo algún sádico esporádico), otra cosa es que consigamos que lo comprendan, o que los alumnos pongan el esfuerzo o el interés necesario.

Intentar que se comprenda lo que explicamos y que se sea eficiente en resolver los problemas (dos cosas diferentes, insisto) es justo lo que tenemos que hacer en las clases.

Preguntar los usos más básicos de un conocimiento incipiente es justo lo que tenemos que hacer en un examen.

Buscar que no nos cuelen una resolución tipo sin entender nada, también es nuestra obligación, pero caer en generar exámenes de una gran dificultad para evitarlo, creo que es un error.

Recordemos que estos problemas no son un divertido desafío que has elegido y en el que piensas relajadamente una tarde lluviosa, es una situación de estrés en la que te juegas el aprobado.

Así que, en mi opinión (espero las vuestras), nuestros ejercicios deberían ser abordables usando las técnicas que enseñamos y en el tiempo del que se dispone… lo que nos lleva a algo muy parecido a “problemas tipo”.


Demostraciones (?) gráficas

1 mayo 2019

La verdad es que es costoso “ver” los asuntos numéricos, por eso nos ayudamos de gráficas, diagramas, animaciones y mil cosas más. Fantásticas ayudas, que con apoyo de la tecnología son multitud.

El problema viene cuando esas supuestas demostraciones, a veces sólo ilustran, y a veces inducen a error.

Miremos este gif

Fuente: Wikipedia

Fácil, ¿verdad?

Hemos transformado el círculo en un rectángulo de la misma superficie, y como el área del rectángulo es base x altura, pues, listo: “pi, erre cuadrado”.

Pero, eso NO es un rectángulo, los sectores están curvados…

Ya, pero en el límite…

En el límite, puede que sí y puede que no. Esto NO es una prueba. Todos quedan contentos, el profesor y el estudiante, pero no está bien.

Veamos ahora este gif.

Fuente: Giphy

Es un conocido efecto óptico. Al parecer podemos comernos una onza, sin que se pierda nada de chocolate. Por supuesto, eso es imposible. Si lo hacéis con cartón o tarjetas de verdad, también lo parece, pero si calculáis la superficie final del chocolate, veréis que algo se ha perdido. Aquí tenéis una explicación más detallada.

La cuestión es que algunas “demostraciones” son más una ilustración que una prueba, y en ocasiones, sólo para casos concretos.

Recordemos de nuevo a nuestro amigo pi. La diferencia entre el valor exacto de pi y suponer que vale exactamente tres, produce un error próximo al cinco por ciento… nada más.

Hace poco he visto a unos profesores que se alegraban de que un estudiante había entendido que los ángulos de un triángulo sumaban 180º porque había recortado un dibujo de esas tres “pequeñas cuñas” con las que simbolizamos los ángulos, las había puesto juntas y, efectivamente, parece que suman 180º.

Todo el mundo parecía feliz, otros profes que comentaban el tuit… pero yo no, y no es que sea un tiquismiquis, es que eso no prueba nada. Ni por generalidad, ni por precisión. Y, en este caso, puede probarse de veras, de una forma que no es tan compleja, a mi entender.

Imaginemos que recorremos ese triángulo andando, comenzando en un vértice y terminando en el mismo vértice mirando en la misma dirección en la que empezamos.

¿Cuántas veces hemos girado?

Tres: Empezamos a andar, giramos en el segundo vértice, seguimos andando, giramos en el tercer vértice, seguimos andando, llegamos al vértice inicial y hacemos un giro para acabar en la misma orientación que teníamos al empezar.

¿Cuántos grados hemos girado en total?

Pues si hemos acabado como estábamos… una vuelta completa: 360º

Así que la suma de los tres ángulos girados es 360º, pero esos ángulos que giramos no son los de “dentro” del triángulo, sino los de fuera.

¿Qué relación hay entre los ángulos exteriores que giramos y los interiores del triángulo?

Mirad: Imagina que empezamos en el vértice de abajo a la izquierda y estamos mirando a la derecha. Empezamos a andar todo el lado horizontal y cuando llegamos al vértice derecho tenemos que girar el ángulo en verde para poder enfilar el siguiente lado.

Fuente: Wikipedia

Por lo tanto es claro que el ángulo exterior que recorremos es 180º menos el ángulo interior.

Así que si llamamos:

A, B, C a los ángulos exteriores

a, b, c a los interiores

Podemos decir que

A = 180-a     B = 180-b     C= 180-c

¡Ya estamos preparados para la demostración!

Dijimos que la suma de los ángulos exteriores es 360º

A + B + C = 360

Sustituyendo por los ángulos interiores

180-a + 180-b + 180-c = 360

Agrupamos las letras a un lado y operamos los números…

a + b + c = 180    DEMOSTRADO.

Esto SÍ demuestra, utiliza apoyos gráficos (como darse cuenta de que al recorrer un polígono hemos de girar 360º, y ver que el ángulo interior y el exterior suman 180º), e incluso podemos hacerlo caminando y todo (a mí me toca cuando enseño programación) pero también hacemos “las cuentas” y no sacamos conclusiones “a la vista”.

De hecho, este procedimiento general supongo que a alguno le estará sugiriendo que también podríamos encontrar cuánto tienen que sumar los ángulos de cualquier polígono, en ciertas condiciones, ¿a que sí?

Intentemos ser claros, divertidos… y precisos. Si no, “entretenemos”, pero, ¿enseñamos?


Lo Mejor Que Te Puede Pasar 03-05-2017

3 mayo 2017

Hoy hablamos de progresiones geométricas, vampiros, interés compuesto… y salen un par de Naukers


La Aventura del Saber 23/01/2017

2 febrero 2017

Aquí me tenéis en la aventura del saber con el divertidísimo truco de las copas de martini. A partir del minuto 41:30

aventura-del-saber

Para los que quieran más información está la entrada del compañero Tito Eliatrón

 


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