La magia del nonius. Medir más allá de lo posible.

10 septiembre 2019

El nonius es uno de esos “cacharros” que parecen magia por mucho que conozcas las reglas que lo rigen o seas capaz incluso de construirlos, lo mismo que pasa con el giróscopo.

Lo primero que tenemos que saber hacer es dividir un segmento en el número de veces que queramos, aunque numéricamente no sea demasiado sencillo.

Por ejemplo, dividir un segmento cualquiera en un número de partes arbitrario. Aquí podéis verlo, es sencillo.

Ahora, asumiendo que podemos hacer eso, vamos a por el nonius.

Imagina que tenemos una regla usual que llega hasta los milímetros y que estamos interesados en poder medir DÉCIMAS de milímetro.

El truco consiste en añadir una regla móvil de la siguiente manera.

Fíjate que lo que hemos hecho es tomar NUEVE milímetros y dividirlo en DIEZ partes, algo que podemos hacer con el truco del que acabamos de hablar. Hasta ahora no hemos necesitado ningún instrumento más preciso que nuestra regla convencional de partida.

La regla inferior es la móvil. A partir de ahora vamos a empezar a moverla y a observar cuidadosamente lo que ocurre.

Todas las figuras que vamos a usar son de Dnu72 y pueden encontrarse en esta página de la Wikipedia.

Primero, y dado que “nos falta” un milímetro, verás que sólo nos coincide la primera línea de la regla inferior con una de la regla superior. Es resto están un poco desplazadas.

¿Qué ocurre si hago coincidir el 10 de ambas escalas? Pues sería una situación parecida, coincidirían las líneas del 10, pero ninguna otra. ¿Cuánta distancia habríamos movido la regla inferior? Un milímetro, que es justo lo que habíamos querido quedarnos cortos.

¿Qué pasa en las situaciones intermedias? Pues si pongo la regla en la posición inicial y la desplazo un poco a la izquierda, coincidirá la línea del “uno de abajo” con una de las de arriba, como podéis ver aquí. Y es la ÚNICA que coincide.

Si lo muevo un poquito más, ahora coincidirá la “línea del dos” y, de nuevo, es la única que coincide. Al “faltar” un milímetro en la escala móvil, sólo nos va a coincidir una línea cada vez.

Total, que según nos vamos moviendo, nos irán coincidiendo las líneas una a una hasta llegar a que nos coincidan los dos 10.

Aquí, por ejemplo, coincide la línea del seis (recuerda, nos importa la línea que coincide abajo, no con quien coincide arriba. La de arriba es la línea de los siete milímetros, pero ¡la de abajo es la del seis!)

Resumamos, porque acaba de producirse la MAGIA.

  • Desde que nos coinciden los ceros hasta que nos coinciden los 10, la distancia recorrida es un milímetro.
  • Durante ese movimiento van coincidiendo las diez líneas dibujadas, una a una.
  • Que están igualmente espaciadas…

Pues, compañeros, cada vez que te coincida una línea habrás avanzado ¡UNA DÉCIMA DE MILÍMETRO!

¿No es impresionante?

Con una regla que sólo puede medir milímetros y un poco de ingenio, puedo medir ¡décimas de milímetro!

Aquí tenéis un simulador en el que podréis ver cómo sucede lo increíble

Este artilugio que se llama nonius va acoplado a multitud de aparatos de medida, quizá el más común, el calibre.

Es una herramienta imprescindible en cualquier taller, como ves, lista para medir exteriores (abajo), interiores (arriba) y profundidades (derecha), leyendo la medida siempre en la misma escala.

De la página del simulador os pongo esta captura para contaros cómo se lee la medida.

La manera de leerlo es la siguiente. Primero leemos los milímetros que llevamos pasados, es decir, que ya haya superado el cero de la regla móvil. En nuestro caso 12.

Después sumamos tantas décimas como el número de línea de la escala inferior que coincida con una línea de arriba. En nuestro caso 4.

Así que esta medida son 12,4 mm.

Si te fijas en el dibujo, efectivamente el cero ha pasado del 12 y está ligeramente por debajo de la mitad de ese milímetro.

Por supuesto os he contado una versión sencilla para que entendáis el ingenioso artificio. El que quiera ver diferentes maneras de implementarlo para obtener distintos alcances en la medida y sus fórmulas generales, puede consultar la entrada de Wikipedia, donde encontrará un detallado análisis.

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Exámenes: ¿Problemas tipo o problemas de idea feliz?

10 junio 2019

Fuente: Wikipedia

Si le preguntas a los alumnos se decantarán claramente por el primer tipo, pero más allá de sus gustos o intereses, discutamos qué opciones son pedagógicamente más interesantes, como profesores y como científicos.

Reconozco la falsa dicotomía del título ya que. en realidad, todos los profesionales estaremos de acuerdo en que lo ideal es un problema que pueda resolverse con los conocimientos que deben demostrar, pero que no resulte tan sencillo como para ser un ejemplo común que puedan haber memorizado sin mayor comprensión.

¿Dejamos aquí el post? Nada de eso.

Como en tantas ocasiones, es muy fácil escribir una solución que sea casi tautológica o autorreferente, de forma que sea innegable, pero a la vez no dé ninguna pista de como podría concretarse.

¿Cuál es ese ejercicio magnífico en el que tienen que usar de manera comprensiva los conocimientos que les enseñamos, pero que ni es el mismo problema del libro con los datos cambiados, ni algo que no pueda resolverse sin darse cuenta de un detalle especial que ni siquiera tiene que ver directamente con lo que les enseñamos?

Mi tesis es que… no existe. Nuestros esfuerzos por salir de los problemas tipo suelen acabar en problemas de idea feliz.

Puede ser que esto sea mucho más cierto en los niveles menos sofisticados de la educación, aunque por esto me refiera incluso a los primeros cursos universitarios.

Pero esto a mí no me preocupa. Me gustan los problemas tipo… porque me gusta la ciencia.

Me explicaré. Me gustan las regularidades que encontramos en la naturaleza, me gustan los patrones, me gustan las fórmulas, me gusta que los que nos precedieron se dieran cuenta de que de aquella manera se podía resolver un problema o muchos.

Me gustan los sistemas, los protocolos. Acercarme a un problema y saber que puedo aplicar ciertas “técnicas” y resolverlo, de una manera sistemática.

Algo distinto es “adornar” los problemas, por ejemplo, casi todos los profesores que hemos enseñado física hemos puesto ese problema de caída de objetos en los que se calcula desde qué piso se tiró el tiesto que mató a la víctima de un asesinato o cosas parecidas, pero hay unas fórmulas, hay unas maneras de plantear el problema, hay unas condiciones para la altura máxima, para el tiempo de vuelo.

Lo mágico de las regularidades matemáticas de la naturaleza es que, con este sistema, podemos resolver “cualquier” problema.

Recordemos de nuevo que en los primeros niveles de conocimiento estamos enseñando las técnicas básicas y que es justo eso de lo que tenemos que examinar a nuestros estudiantes. ¿Sabe resolver una integral racional? ¿Sabe calcular el alcance máximo de un tiro parabólico? ¿Sabe diagonalizar una matriz?

Creo que parte del problema es que entender algo y tener la habilidad de hacerlo de una manera eficiente son dos cosas que pueden no estar relacionadas, necesariamente.

Por ejemplo, es necesario conocer las tablas de multiplicar y ser capaz de hacer esa operación de una forma rápida y eficiente, más allá de que sea una suma de sumandos iguales. Se puede tener una profunda comprensión de la definición y tardar una barbaridad en resolverlo, haciendo la suma de los sumandos iguales, o haber olvidado eso pero ser capaz de aplicar el algoritmo, dando un resultado fiable en segundos.

Ningún profesor busca activamente la incomprensión de sus alumnos (salvo algún sádico esporádico), otra cosa es que consigamos que lo comprendan, o que los alumnos pongan el esfuerzo o el interés necesario.

Intentar que se comprenda lo que explicamos y que se sea eficiente en resolver los problemas (dos cosas diferentes, insisto) es justo lo que tenemos que hacer en las clases.

Preguntar los usos más básicos de un conocimiento incipiente es justo lo que tenemos que hacer en un examen.

Buscar que no nos cuelen una resolución tipo sin entender nada, también es nuestra obligación, pero caer en generar exámenes de una gran dificultad para evitarlo, creo que es un error.

Recordemos que estos problemas no son un divertido desafío que has elegido y en el que piensas relajadamente una tarde lluviosa, es una situación de estrés en la que te juegas el aprobado.

Así que, en mi opinión (espero las vuestras), nuestros ejercicios deberían ser abordables usando las técnicas que enseñamos y en el tiempo del que se dispone… lo que nos lleva a algo muy parecido a “problemas tipo”.


Demostraciones (?) gráficas

1 mayo 2019

La verdad es que es costoso “ver” los asuntos numéricos, por eso nos ayudamos de gráficas, diagramas, animaciones y mil cosas más. Fantásticas ayudas, que con apoyo de la tecnología son multitud.

El problema viene cuando esas supuestas demostraciones, a veces sólo ilustran, y a veces inducen a error.

Miremos este gif

Fuente: Wikipedia

Fácil, ¿verdad?

Hemos transformado el círculo en un rectángulo de la misma superficie, y como el área del rectángulo es base x altura, pues, listo: “pi, erre cuadrado”.

Pero, eso NO es un rectángulo, los sectores están curvados…

Ya, pero en el límite…

En el límite, puede que sí y puede que no. Esto NO es una prueba. Todos quedan contentos, el profesor y el estudiante, pero no está bien.

Veamos ahora este gif.

Fuente: Giphy

Es un conocido efecto óptico. Al parecer podemos comernos una onza, sin que se pierda nada de chocolate. Por supuesto, eso es imposible. Si lo hacéis con cartón o tarjetas de verdad, también lo parece, pero si calculáis la superficie final del chocolate, veréis que algo se ha perdido. Aquí tenéis una explicación más detallada.

La cuestión es que algunas “demostraciones” son más una ilustración que una prueba, y en ocasiones, sólo para casos concretos.

Recordemos de nuevo a nuestro amigo pi. La diferencia entre el valor exacto de pi y suponer que vale exactamente tres, produce un error próximo al cinco por ciento… nada más.

Hace poco he visto a unos profesores que se alegraban de que un estudiante había entendido que los ángulos de un triángulo sumaban 180º porque había recortado un dibujo de esas tres “pequeñas cuñas” con las que simbolizamos los ángulos, las había puesto juntas y, efectivamente, parece que suman 180º.

Todo el mundo parecía feliz, otros profes que comentaban el tuit… pero yo no, y no es que sea un tiquismiquis, es que eso no prueba nada. Ni por generalidad, ni por precisión. Y, en este caso, puede probarse de veras, de una forma que no es tan compleja, a mi entender.

Imaginemos que recorremos ese triángulo andando, comenzando en un vértice y terminando en el mismo vértice mirando en la misma dirección en la que empezamos.

¿Cuántas veces hemos girado?

Tres: Empezamos a andar, giramos en el segundo vértice, seguimos andando, giramos en el tercer vértice, seguimos andando, llegamos al vértice inicial y hacemos un giro para acabar en la misma orientación que teníamos al empezar.

¿Cuántos grados hemos girado en total?

Pues si hemos acabado como estábamos… una vuelta completa: 360º

Así que la suma de los tres ángulos girados es 360º, pero esos ángulos que giramos no son los de “dentro” del triángulo, sino los de fuera.

¿Qué relación hay entre los ángulos exteriores que giramos y los interiores del triángulo?

Mirad: Imagina que empezamos en el vértice de abajo a la izquierda y estamos mirando a la derecha. Empezamos a andar todo el lado horizontal y cuando llegamos al vértice derecho tenemos que girar el ángulo en verde para poder enfilar el siguiente lado.

Fuente: Wikipedia

Por lo tanto es claro que el ángulo exterior que recorremos es 180º menos el ángulo interior.

Así que si llamamos:

A, B, C a los ángulos exteriores

a, b, c a los interiores

Podemos decir que

A = 180-a     B = 180-b     C= 180-c

¡Ya estamos preparados para la demostración!

Dijimos que la suma de los ángulos exteriores es 360º

A + B + C = 360

Sustituyendo por los ángulos interiores

180-a + 180-b + 180-c = 360

Agrupamos las letras a un lado y operamos los números…

a + b + c = 180    DEMOSTRADO.

Esto SÍ demuestra, utiliza apoyos gráficos (como darse cuenta de que al recorrer un polígono hemos de girar 360º, y ver que el ángulo interior y el exterior suman 180º), e incluso podemos hacerlo caminando y todo (a mí me toca cuando enseño programación) pero también hacemos “las cuentas” y no sacamos conclusiones “a la vista”.

De hecho, este procedimiento general supongo que a alguno le estará sugiriendo que también podríamos encontrar cuánto tienen que sumar los ángulos de cualquier polígono, en ciertas condiciones, ¿a que sí?

Intentemos ser claros, divertidos… y precisos. Si no, “entretenemos”, pero, ¿enseñamos?


Lo Mejor Que Te Puede Pasar 03-05-2017

3 mayo 2017

Hoy hablamos de progresiones geométricas, vampiros, interés compuesto… y salen un par de Naukers


La Aventura del Saber 23/01/2017

2 febrero 2017

Aquí me tenéis en la aventura del saber con el divertidísimo truco de las copas de martini. A partir del minuto 41:30

aventura-del-saber

Para los que quieran más información está la entrada del compañero Tito Eliatrón

 


Lo Mejor Que Te Puede Pasar 16/11/2016

21 noviembre 2016

Hoy volvemos con una cosa un poco rara… ¿pensáis que medimos lo mismo por la mañana y por la noche?

Pues por ahí empezamos, luego empezamos a hablar de ir al baño a deponer, de medidas, de error, de precisión, de los decimales… de las notas. El que quiera puede ampliar con mis entradas sobre rúbricas, oposiciones, cifras significativas

Por cierto, nos lo pasamos tremendamente bien y creo que se ve.

Y repito, olé por este equipo, que apuesta por contar ciencia a la gente más normal, de la manera más normal, lo hacemos divertido… y estamos hablando de cosas bien gordas y serias. Si no os habéis dado cuenta es la mejor señal. Ya sabéis, lo contrario de divertido no es serio, es aburrido.


De estándares, competencias, espacios vectoriales y hombres

27 mayo 2016

Yo no sé vosotros, pero cada vez la vida me parece más metafórica… os cuento.

Si sois jóvenes desde hace mucho, recordaréis cuando en la enseñanza se trataba de aprender unos contenidos concretos, te los preguntaban y según tus respuestas eras evaluado.

Más adelante empezaron con lo que llamaban “competencias” cosas más abstractas, como: La competencia digital, podemos leer en la web del MEC:

La competencia digital (CD) es aquella que implica el uso creativo, crítico y seguro de las tecnologías de la información y la comunicación para alcanzar los objetivos relacionados con el trabajo, la empleabilidad, el aprendizaje, el uso del tiempo libre, la inclusión y participación en la sociedad. (…)”

A partir de entonces seguíamos enseñando la ley de Ohm, pero en realidad nuestro objetivo era conseguir desarrollar estas competencias, así que de alguna manera había que expresar en nuestras programaciones cómo cada contenido ayudaba a esa consecución. Como si la enseñar la ley de Ohm fuese un 10% de competencia digital más un 25% de “aprender a aprender” (otra competencia), etc.

Eso se parece mucho a lo que hacemos para representar puntos en un plano. Para nosotros es un espacio de dos dimensiones y hay infinidad de manera de describir un punto.

Cartesian-coordinate-system

A esto lo llamamos coordenadas cartesianas. Necesitamos dos, que podríamos enunciar como:

x: ¿Cuánto a derecha o izquierda?

y: ¿Cuánto arriba o abajo?

El punto verde lo represento por (2,3) porque doy dos pasos a derecha y tres pasos hacia arriba.

El punto rojo será (-3,1) porque doy dos pasos a la izquierda y un paso hacia arriba.

Hay otras maneras, por ejemplo en coordenadas polares. Ahí usaremos también dos cantidades, una será la distancia al centro y otra el ángulo girado respecto a un origen (el eje horizontal, p.ej.)

 Coordenadas polares

Algo interesante en estos dos sistemas de coordenadas es que son “independientes”, quiero decir que lo que ande hacia arriba o abajo no influye en mi desplazamiento de izquierda a derecha, o en el caso de las coordenadas polares, lo que me aleje del centro es independiente del ángulo girado respecto de la parte positiva del eje horizontal.

También se puede caracterizar el plano usando coordenadas que no sean “totalmente independientes”, por ejemplo.
base no ortogonalAquí el eje “vertical” no lo es tanto, y avanzar por él significa ir también un poco hacia la derecha.

Así que si decimos que un punto se caracteriza en este sistema como (2,3) eso significa que andamos dos “pasos” en el eje horizontal y tres en el otro, pero si pensamos sólo en términos de izquierda/derecha; arriba/abajo, desplazarnos 3 unidades en el eje inclinado nos lleva un poco menos de 3 unidades “hacia arriba” y nos lleva un poco también hacia la derecha.

Volvamos a la educación.

¿Son esas competencias una manera de describir los “distintos ejes” de la formación de nuestros chavales?

¿Son “perpendiculares”? Quiero decir: ¿Son la competencia digital y la matemática “independientes”? ¿No estamos midiendo parte de una cuando medimos la otra y viceversa?

Imaginemos ahora por un momento que asumimos que eso de las competencias es una buena aproximación en el sentido de representación que decíamos, pero fíjate qué ocurre en la práctica.

Si estuviéramos tratando con un sistema detalladamente pensado para saber la competencia digital de un estudiante compondríamos los resultados parciales en las distintas materias (con sus pesos relativos y tal) para dar un “resultado final” del grado de consecución de ese chaval en esa competencia… pero no. Lo que hacemos es colapsar toda esa información en una nota única para cada asignatura.

Te lo voy a resumir (quizá chungamente, quizá exageradamente… quizá no tanto).

Yo voy a preguntar la ley de Ohm como siempre, pero primero atomizo ese contenido en distintas componentes, que estimo por separado y que luego vuelvo a juntar en una nota única (que va de entero en entero: 6, 7, 8…). ¿Seguro que hacía falta tanto viaje para eso?

Y ahora tenemos más risas…

Ahora aparecen decenas (sí, decenas) de estándares de aprendizaje. Una manera más de atomizar algo para luego volver a colapsarlo.

Es genial que además todo se llene de números, sin que parezca que nadie tiene ni puñetera idea de medida, estimaciones o errores, pero sí que tenga esa apariencia de exactitud que tanto daño nos hace.

Así que usaremos rúbricas (de las que ya os hablé) atomizaremos la evaluaciones en tres mil items, de los que no nos preocuparemos si nos independientes o no, los promediaremos a lo bestia, o bien asignaremos pesos relativos en el promedio (interesante escuchar el por qué de esos diferentes pesos) y después volveremos a colapsar esa información para poner un 6 o un 7.

Eso sí, no os preocupéis, que todos estarán felices y contentos, profesores y estudiantes, porque las cuentas salen.


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