Demostraciones (?) gráficas

La verdad es que es costoso “ver” los asuntos numéricos, por eso nos ayudamos de gráficas, diagramas, animaciones y mil cosas más. Fantásticas ayudas, que con apoyo de la tecnología son multitud.

El problema viene cuando esas supuestas demostraciones, a veces sólo ilustran, y a veces inducen a error.

Miremos este gif

Fuente: Wikipedia

Fácil, ¿verdad?

Hemos transformado el círculo en un rectángulo de la misma superficie, y como el área del rectángulo es base x altura, pues, listo: “pi, erre cuadrado”.

Pero, eso NO es un rectángulo, los sectores están curvados…

Ya, pero en el límite…

En el límite, puede que sí y puede que no. Esto NO es una prueba. Todos quedan contentos, el profesor y el estudiante, pero no está bien.

Veamos ahora este gif.

Fuente: Giphy

Es un conocido efecto óptico. Al parecer podemos comernos una onza, sin que se pierda nada de chocolate. Por supuesto, eso es imposible. Si lo hacéis con cartón o tarjetas de verdad, también lo parece, pero si calculáis la superficie final del chocolate, veréis que algo se ha perdido. Aquí tenéis una explicación más detallada.

La cuestión es que algunas “demostraciones” son más una ilustración que una prueba, y en ocasiones, sólo para casos concretos.

Recordemos de nuevo a nuestro amigo pi. La diferencia entre el valor exacto de pi y suponer que vale exactamente tres, produce un error próximo al cinco por ciento… nada más.

Hace poco he visto a unos profesores que se alegraban de que un estudiante había entendido que los ángulos de un triángulo sumaban 180º porque había recortado un dibujo de esas tres “pequeñas cuñas” con las que simbolizamos los ángulos, las había puesto juntas y, efectivamente, parece que suman 180º.

Todo el mundo parecía feliz, otros profes que comentaban el tuit… pero yo no, y no es que sea un tiquismiquis, es que eso no prueba nada. Ni por generalidad, ni por precisión. Y, en este caso, puede probarse de veras, de una forma que no es tan compleja, a mi entender.

Imaginemos que recorremos ese triángulo andando, comenzando en un vértice y terminando en el mismo vértice mirando en la misma dirección en la que empezamos.

¿Cuántas veces hemos girado?

Tres: Empezamos a andar, giramos en el segundo vértice, seguimos andando, giramos en el tercer vértice, seguimos andando, llegamos al vértice inicial y hacemos un giro para acabar en la misma orientación que teníamos al empezar.

¿Cuántos grados hemos girado en total?

Pues si hemos acabado como estábamos… una vuelta completa: 360º

Así que la suma de los tres ángulos girados es 360º, pero esos ángulos que giramos no son los de “dentro” del triángulo, sino los de fuera.

¿Qué relación hay entre los ángulos exteriores que giramos y los interiores del triángulo?

Mirad: Imagina que empezamos en el vértice de abajo a la izquierda y estamos mirando a la derecha. Empezamos a andar todo el lado horizontal y cuando llegamos al vértice derecho tenemos que girar el ángulo en verde para poder enfilar el siguiente lado.

Fuente: Wikipedia

Por lo tanto es claro que el ángulo exterior que recorremos es 180º menos el ángulo interior.

Así que si llamamos:

A, B, C a los ángulos exteriores

a, b, c a los interiores

Podemos decir que

A = 180-a     B = 180-b     C= 180-c

¡Ya estamos preparados para la demostración!

Dijimos que la suma de los ángulos exteriores es 360º

A + B + C = 360

Sustituyendo por los ángulos interiores

180-a + 180-b + 180-c = 360

Agrupamos las letras a un lado y operamos los números…

a + b + c = 180    DEMOSTRADO.

Esto SÍ demuestra, utiliza apoyos gráficos (como darse cuenta de que al recorrer un polígono hemos de girar 360º, y ver que el ángulo interior y el exterior suman 180º), e incluso podemos hacerlo caminando y todo (a mí me toca cuando enseño programación) pero también hacemos “las cuentas” y no sacamos conclusiones “a la vista”.

De hecho, este procedimiento general supongo que a alguno le estará sugiriendo que también podríamos encontrar cuánto tienen que sumar los ángulos de cualquier polígono, en ciertas condiciones, ¿a que sí?

Intentemos ser claros, divertidos… y precisos. Si no, “entretenemos”, pero, ¿enseñamos?

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