Resultados en problemas, ¿fracciones, raíces o sólo decimales?

10 diciembre 2019

¿Es adecuado dar como respuesta de un problema “2/7 metros”?

A mi entender, no. Me explico.

Ese número que he puesto tiene infinitos decimales, pero lleva unidades… porque se refiere a una magnitud física, a algo medible. Puede que sea la respuesta a “¿Cuántos metros de tela nos corresponden a cada uno si hemos comprado dos y somos siete personas?”.

¿Y qué problema le ves, Panaderito nuestro, a que el reparto de dos metros de tela entre siete personas se exprese como “dos séptimos”? No puede ser más obvio.

PUES CLARO QUE VEO PROBLEMAS. YO SIEMPRE VEO PROBLEMAS… Y NO MENORES.

Parece que ya (casi) todo el mundo ha asumido que dar una magnitud física sin las unidades es una barbaridad. Por ejemplo, si me preguntas a qué distancia vivo de ti y te respondo “CINCO”, bien puedo ser tu vecino de portal (a cinco metros), de ciudad (kilómetros) o alguien que ande no muy lejos de la estrella Proxima Centauri (a cinco años-luz). De forma que “CINCO” no es una respuesta válida, ni siquiera aproximada. No contiene ninguna información que se pueda usar.

Pero aún seguimos teniendo la “asignatura pendiente” de LA INCERTIDUMBRES, LOS ERRORES EN LAS MEDIDAS.

Volviendo al ejemplo de la tela. Las siete personas, son siete, venga, eso te lo acepto, pero los dos metros de tela, ¿son dos metros exactos? Imposible, ¿verdad? ¿Ni un átomo de más ni uno de menos?

Lo más probable es que sean dos metros, “centímetro arriba, centímetro abajo”, o quizá unos cuantos centímetros extra, o quizá lo hayan cortado con mimo exquisito, pero sigamos teniendo una tolerancia de unos milímetros. O pudiera ser que la tela encogiera o se expandiera según la humedad ambiente…

Y mil cosas más que nos indican que ese dos, no era un DOS, era un 2,0 ± 0,1 m, si tenemos una incertidumbre de 10 centímetros, o bien 2,00 ± 0,01 m, si nuestra incertidumbre es de un centímetro.

Y ahora dime tú: Si no sabíamos si había un centímetro de más o uno de menos, ¿cómo puedo decir que la parte que me toca es de 2/7 m = 0,28571429… m? ¿Cómo puedo decir que me tocan veintiocho centímetros y medio, con siete décimas de milímetro, y una centésima de milímetro, y cuatro micras y… ¿Qué sentido tiene eso? NINGUNO, ya te lo digo yo.

Si tengo un error de un centímetro en la medida original y divido por siete, debo expresar el resultado con milímetros y no mucho más, los demás números NO TIENEN SENTIDO, por mucho que lo diga la calculadora. Los números que arroja la calculadora hay que interpretarlos, no son la verdad revelada por Dios.

Vemos con claridad, ahora, que el error con el que conocía la medida original me condiciona la precisión con la que puedo dar el resultado.

Así que, si estamos haciendo un problema de matemáticas ABSTRACTO, en las que las cifras no se refieren a nada en particular -porque podrían referirse a cualquier cosa (benditas matemáticas)- ahí no hay ningún problema en que el resultado sea 2/7, Pi, o raíz de 2, PEEEEEERO, si estamos resolviendo un problema del MundoReal™, en el que la ciudad A está a diez kilómetros de la ciudad B, tengo una tela de dos metros, un campo de 3 hectáreas… todas esas cifras llevan asociada una incertidumbre en su medida, que condiciona la que podamos dar en el resultado.

Es una convención corriente que, si no se indica lo contrario, el error es de ±1 en la última cifra que pongamos. Así 2 m lo entendermos como 2 ± 1 m. En cambio 2,0 será 2.0 ± 0,1 m. Y, como veis, tiene todo el sentido poner 2,000 y es un número distinto a 2. En el primero hemos medido esos tres decimales y han salido cero, como podrían haber salido 5, 7 y 3. Sin embargo cuando decimos que la medida es 2, se entiende que no tenemos ni idea (porque no los hemos medido) del valor de los decimales.

Y ahora dejadme que vaya un paso más allá.

Cuando hacemos cálculos sobre el MundoReal™ no solamente tenemos medidas con incertidumbres, es que estamos haciendo números SUPONIENDO que la realidad se aproxima a un MODELO, más o menos preciso de cómo creemos que funciona. Por ejemplo, cuando hacemos cálculos sobre cuánto tarda algo en caer (una distancia de metros) solemos despreciar el efecto del aire, por ser pequeño, cosa que está muy bien, pero que ya supone que nuestro resultado no será “exacto”, sino aproximado. Y, de nuevo os pregunto, ¿qué sentido tiene hacer un cálculo dentro de un modelo aproximado y dar el resultado con infinitos decimales, si el error del modelo ya afectaría al tercer decimal?

Creo que además de divulgar estas cosas al público en general, debemos ir procurando que vayan calando en el alumnado, porque este es el uso particular que hacemos de las matemáticas en las ciencias experimentales y es necesario aprenderlo y aplicarlo correctamente.

Si os gustan estas cosas, os escribí un libro completo, Aproxímate, que tenéis sólo en las mejores librerías. Experimentos caseros con los que te enseño las matemáticas de las ciencias experimentales desde cero, la varita mágica que te dirá cómo funciona las cosas sin tener que creerte a nadie, porque: “El que mide, sabe, el que no, sólo opina”.


Lo Mejor Que Te Puede Pasar 16/11/2016

21 noviembre 2016

Hoy volvemos con una cosa un poco rara… ¿pensáis que medimos lo mismo por la mañana y por la noche?

Pues por ahí empezamos, luego empezamos a hablar de ir al baño a deponer, de medidas, de error, de precisión, de los decimales… de las notas. El que quiera puede ampliar con mis entradas sobre rúbricas, oposiciones, cifras significativas

Por cierto, nos lo pasamos tremendamente bien y creo que se ve.

Y repito, olé por este equipo, que apuesta por contar ciencia a la gente más normal, de la manera más normal, lo hacemos divertido… y estamos hablando de cosas bien gordas y serias. Si no os habéis dado cuenta es la mejor señal. Ya sabéis, lo contrario de divertido no es serio, es aburrido.


Las oposiciones incumplen las leyes… las leyes de la física

16 noviembre 2009

Este verano tocan oposiciones para profesor de secundaria.

Aprovecho para contaros una noticia escandalosa:

La nota final que te ponen tiene cuatro decimales (!!!!)

Vaya que puede ser algo así como un 5,8967

Es una vergüenza…

Eso significa que evalúan tus conocimientos, habilidades, etc con una precisión de uno por diez mil

Cualquiera que tenga los mínimos estudios relacionados con la ciencia sabe que cuando se toma una medida y se hacen unos cálculos, no basta con coger el número que ponga en la calculadora y escribirlo como resultado.

Las razones son múltiples:

1. El modelo que usas (la teoría, las fórmulas) lleva asociados ciertos límites e imprecisiones.

En el caso de las oposiciones, con qué criterio se reparte el peso relativo de las distintas pruebas, de los puntos en cada prueba, cuántas preguntas y con cuánto detalle se pregunta, etc.

2. El procedimiento de toma de medidas también lleva asociados errores e imprecisiones.

En nuestro caso tenemos la correción subjetiva por parte de personas diferentes en distintos tribunales, cómo se puntúa una pregunta de desarrollo, qué errores penalizan en qué medida, cómo se evalúa la exposición oral…

Si estuviésemos tomando una medida sobre una magnitud física en estas condiciones, dudo de que alguien se atreviese a dar más del primer decimal, como mucho.

Lo que no me cabe duda es que cualquier esudiante de primero de cualquier carrera experimental recibiría un suspenso si pusiese un resultado de este tipo en sus prácticas.

Señores, aunque eliminen la nota más alta y la más baja (otra arbitrariedad) y el resultado de hacer unas sumas y unas divisiones les arroje un número de nueve cifras, es una barbaridad matemática pretender que esa sea la nota del aspirante.

¡Es matemáticamente imposible, científicamente incorrecto que se diga que se ha evaluado a ese aspirante con una precisión de uno sobre diez mil!

No cabe duda de que si hubiese más cultura científica en la sociedad no permitiríamos que una ley fuera matemáticamente incorrecta, lo repito una vez más: INCORRECTA.

No sé a qué instancia habría que apelar, supongo que a Dios, ya que esta ley entra en conflicto con otras leyes superiores… Las leyes de la Naturaleza.

Esta entrada está dedicada con cariño a tantos interinos que son excelentes profesionales y tienen que sufrir cada dos años este injusto sistema.

 


Cifras significativas

8 septiembre 2009

MathematicsgeneralEsta entrada va dedicada sobre todo a los compañeros profesores de ciencias de secundaria que nos leen.

La base de la ciencia es la REPRODUCIBILIDAD.

Lo que quiere decir que si usamos los mismos elementos y seguimos los mismos procedimientos obtenemos los mismos resultados (dentro del margen de error).

Bueno pues todos los días en clase NEGAMOS esto.

Asomémonos a una clase, a ver si reconocéis la imagen:

– Vamos chicos, haced el problema 9 de la página 87.

– ¿Habéis terminado ya?

– Sí, si… (el entusiasmo es una licencia poética)

– Vale, ¿qué os sale?

– A mí 5,789 kg

– A mí 6 kg

– A mí 5,83 kg

– A mí 5, 9 kg

– Ah! No os preocupéis, están todos bien…

¿¿¿CÓOOOOOMOOOOO???

¿¿¿Que hemos usado los mismos datos, hecho las mismas operaciones con las mismas reglas matemáticas, que a cada uno nos sale una cosa… y que todo eso es estupendo???

ES UN HORROR

Ya sé lo que ha pasado, claro. Uno ha truncado un resultado intermedio, otro lleva arrastrando un montón de decimales en la memoria de su calculadora, otro coge dos decimales siempre (unas veces en números como 3,56 y otras veces en números como 0,03)… Si, ya sé lo que pasa, pero eso no quiere decir que me guste un pelo.

Explicar el cálculo de errores de primero de carrera está fuera de lugar en secundaria. De hecho algunas cosas de secundaria parecen estar fuera de lugar en la propia secundaria… pero eso es otra historia.

Pero lo que sí es cierto es que la mayoría de las fórmulas que usan nuestros alumnos involucran productos y cocientes, así que podemos considerar, bastante aproximadamente, que en sus cálculos se van sumando errores relativos. Por si alguien se ha perdido: que si los datos los conoces con un 4% de error, el resultado tendrá un error asociado similar.

¿Qué quiere decir eso? Pues algo tan sencillo como que podemos ser muy científicos con nuestros alumnos simplemente conservando el número de cifras significativas a lo largo del problema. Los muy puristas si quieren pueden quitar una en el resultado final.

Así que, primero les explicamos lo que son las cifras significativas -de nuevo, por si alguien se pierde- Las cifras que tiene un número a partir de la primera que no sea cero. Pondré unos ejemplos:

0, 00456 tiene tres cifras significativas

2,34 tiene tres cifras significativas

11,2 tiene tres cifras significativas

0,002045 tiene cuatro cifras significativas (si aparecen ceros después de empezar a contar hay que sumarlos)

1 500 000 puede entenderse que tiene dos cifras significativas, si es una aproximación (un millón y medio). Si es el resultado de ir contando y ha salido justo un millón y medio sin faltar una unidad, entonces tendrá siete cifras significativas.

Mi experiencia es que lo pillan bien, incluso los de 1º de la ESO.

Y entonces, de repente… la ciencia entra en el aula.

Veamos la clase del “después”, como en los anuncios de detergente…

– Vamos chicos, haced el problema 9 de la página 87.

– ¿Cuántos decimales cogemos?

¡Nada de decimales! Usad tres cifras significativas.

– A mí me sale 5,79 kg

– A mí también, 5,79 kg

– Pues a mí me sale otra cosa, me sale 5,7864 kg, pero es casi lo mismo, ¿está bien?

No. Has puesto cifras que no tienen sentido físico porque están más allá del error de los datos iniciales…

– Pues son las que me salen en la calculadora…

Pero tú estás para INTERPRETAR lo que dice la calculadora. Nosotros en cada cálculo, truncamos a tres cifras y redondeamos. Así que está MAL.

Y, de repente…

Como si fuera magia…

Al hacer todos lo mismo…

Nos sale a todos lo mismo…

¿¿Era tan difícil??

¿¿Sería ciencia otra cosa??


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