Resultados en problemas, ¿fracciones, raíces o sólo decimales?

10 diciembre 2019

¿Es adecuado dar como respuesta de un problema “2/7 metros”?

A mi entender, no. Me explico.

Ese número que he puesto tiene infinitos decimales, pero lleva unidades… porque se refiere a una magnitud física, a algo medible. Puede que sea la respuesta a “¿Cuántos metros de tela nos corresponden a cada uno si hemos comprado dos y somos siete personas?”.

¿Y qué problema le ves, Panaderito nuestro, a que el reparto de dos metros de tela entre siete personas se exprese como “dos séptimos”? No puede ser más obvio.

PUES CLARO QUE VEO PROBLEMAS. YO SIEMPRE VEO PROBLEMAS… Y NO MENORES.

Parece que ya (casi) todo el mundo ha asumido que dar una magnitud física sin las unidades es una barbaridad. Por ejemplo, si me preguntas a qué distancia vivo de ti y te respondo “CINCO”, bien puedo ser tu vecino de portal (a cinco metros), de ciudad (kilómetros) o alguien que ande no muy lejos de la estrella Proxima Centauri (a cinco años-luz). De forma que “CINCO” no es una respuesta válida, ni siquiera aproximada. No contiene ninguna información que se pueda usar.

Pero aún seguimos teniendo la “asignatura pendiente” de LA INCERTIDUMBRES, LOS ERRORES EN LAS MEDIDAS.

Volviendo al ejemplo de la tela. Las siete personas, son siete, venga, eso te lo acepto, pero los dos metros de tela, ¿son dos metros exactos? Imposible, ¿verdad? ¿Ni un átomo de más ni uno de menos?

Lo más probable es que sean dos metros, “centímetro arriba, centímetro abajo”, o quizá unos cuantos centímetros extra, o quizá lo hayan cortado con mimo exquisito, pero sigamos teniendo una tolerancia de unos milímetros. O pudiera ser que la tela encogiera o se expandiera según la humedad ambiente…

Y mil cosas más que nos indican que ese dos, no era un DOS, era un 2,0 ± 0,1 m, si tenemos una incertidumbre de 10 centímetros, o bien 2,00 ± 0,01 m, si nuestra incertidumbre es de un centímetro.

Y ahora dime tú: Si no sabíamos si había un centímetro de más o uno de menos, ¿cómo puedo decir que la parte que me toca es de 2/7 m = 0,28571429… m? ¿Cómo puedo decir que me tocan veintiocho centímetros y medio, con siete décimas de milímetro, y una centésima de milímetro, y cuatro micras y… ¿Qué sentido tiene eso? NINGUNO, ya te lo digo yo.

Si tengo un error de un centímetro en la medida original y divido por siete, debo expresar el resultado con milímetros y no mucho más, los demás números NO TIENEN SENTIDO, por mucho que lo diga la calculadora. Los números que arroja la calculadora hay que interpretarlos, no son la verdad revelada por Dios.

Vemos con claridad, ahora, que el error con el que conocía la medida original me condiciona la precisión con la que puedo dar el resultado.

Así que, si estamos haciendo un problema de matemáticas ABSTRACTO, en las que las cifras no se refieren a nada en particular -porque podrían referirse a cualquier cosa (benditas matemáticas)- ahí no hay ningún problema en que el resultado sea 2/7, Pi, o raíz de 2, PEEEEEERO, si estamos resolviendo un problema del MundoReal™, en el que la ciudad A está a diez kilómetros de la ciudad B, tengo una tela de dos metros, un campo de 3 hectáreas… todas esas cifras llevan asociada una incertidumbre en su medida, que condiciona la que podamos dar en el resultado.

Es una convención corriente que, si no se indica lo contrario, el error es de ±1 en la última cifra que pongamos. Así 2 m lo entendermos como 2 ± 1 m. En cambio 2,0 será 2.0 ± 0,1 m. Y, como veis, tiene todo el sentido poner 2,000 y es un número distinto a 2. En el primero hemos medido esos tres decimales y han salido cero, como podrían haber salido 5, 7 y 3. Sin embargo cuando decimos que la medida es 2, se entiende que no tenemos ni idea (porque no los hemos medido) del valor de los decimales.

Y ahora dejadme que vaya un paso más allá.

Cuando hacemos cálculos sobre el MundoReal™ no solamente tenemos medidas con incertidumbres, es que estamos haciendo números SUPONIENDO que la realidad se aproxima a un MODELO, más o menos preciso de cómo creemos que funciona. Por ejemplo, cuando hacemos cálculos sobre cuánto tarda algo en caer (una distancia de metros) solemos despreciar el efecto del aire, por ser pequeño, cosa que está muy bien, pero que ya supone que nuestro resultado no será “exacto”, sino aproximado. Y, de nuevo os pregunto, ¿qué sentido tiene hacer un cálculo dentro de un modelo aproximado y dar el resultado con infinitos decimales, si el error del modelo ya afectaría al tercer decimal?

Creo que además de divulgar estas cosas al público en general, debemos ir procurando que vayan calando en el alumnado, porque este es el uso particular que hacemos de las matemáticas en las ciencias experimentales y es necesario aprenderlo y aplicarlo correctamente.

Si os gustan estas cosas, os escribí un libro completo, Aproxímate, que tenéis sólo en las mejores librerías. Experimentos caseros con los que te enseño las matemáticas de las ciencias experimentales desde cero, la varita mágica que te dirá cómo funciona las cosas sin tener que creerte a nadie, porque: “El que mide, sabe, el que no, sólo opina”.


Correlación y causalidad

5 febrero 2009

Mirad que gráfica más bonita

piratesvstemp

Como veis los datos están tomados a lo largo de varios años.

Dado que el eje X va decreciendo es evidente una correlación negativa entre las dos variables y, a los que tengan cálculos de regresión a sus espaldas, les parecerá intuir una relación funcional.

Uy, perdón… siempre me olvido de que no todos habláis ruso…

Bueno en el eje X tenemos el número aproximado de piratas (de los de pata de palo y parche, no de los informáticos), y en el eje Y tenemos la temperatura media global del planeta.

Pues nada, esa es la conclusión, el descenso del número de piratas produce el calentamiento global

Supongo que diréis que algo tiene que estar mal… claro, las cabezas, pero eso es otra cosa.

Matemáticamente las cuentas salen.

Pero el problema no son las matemáticas, el problema está en la “puerta de entrada” y la de “salida” a las matemáticas.

La puerta de entrada son los modelos que elegimos para representar la realidad, las variables que tomamos o descartamos, las que mezclamos con otras, etc.

La puerta de salida es la interpretación física que hacemos de los resultados obtenidos.

Por ejemplo, que dos variables estén correlacionadas puede deberse a que una sea la causa de la otra, efectivamente, pero también a que sea la otra la causa de la primera (o cada una causa de la otra, incluso), o bien a que haya terceros factores que generen las dos, o simplemente, a una coincidencia.

Para esta falacia lógica hay un término en latín específico “Cum hoc ergo propter hoc”. Se lee “jandemar enar enagüer” o algo así, perdón por mi latín (lo mío es el ruso). Pero quiere decir: “juntamente con esto, luego a consecuencia de esto”. Más traducido aún: Si aparecen juntos es que son causa y efecto.

Ya veis que es mentira cochina y podrida.

Una correlación estadística es un indicio de una posible relación causal, al que hay que investigar con cuidadín para confirmarla o rechazarla.

En este caso es evidente, pero otros pueden inducir a graves errores. Imagina por ejemplo que correlacionamos una buena capacidad auditiva con el uso de reproductores portátiles de mp3. Hay una causa común subyacente: los usuarios de esos dispositivos son mayoritariamente jóvenes y eso hace que su oído sea mejor que la media. De hecho la realidad va más bien en sentido contrario, el abuso de estos aparatejos (volumen alto, uso frecuente) precisamente lo que genera son problemas auditivos.

Resumiendo.

Los modelos que usamos para entender la realidad no son la realidad misma. Tienes que tener claras las circunstancias en que son aplicables, revisarlos y corregirlos si hace falta y tener cuidado con las conclusiones que de ellos derives.

Bueno, ahí os dejo, solicitando el préstamo para el barco y afilando vuestras espadas para luchar contra el cambio climático… ¡piratillas!

Fuente original del gráfico

Otro artículo de la misma gente con otra gráfica en la misma línea

Fuente del gráfico en ruso

“Cum hoc ergo propter hoc” en wikipedia


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