Resultados en problemas, ¿fracciones, raíces o sólo decimales?

10 diciembre 2019

¿Es adecuado dar como respuesta de un problema “2/7 metros”?

A mi entender, no. Me explico.

Ese número que he puesto tiene infinitos decimales, pero lleva unidades… porque se refiere a una magnitud física, a algo medible. Puede que sea la respuesta a “¿Cuántos metros de tela nos corresponden a cada uno si hemos comprado dos y somos siete personas?”.

¿Y qué problema le ves, Panaderito nuestro, a que el reparto de dos metros de tela entre siete personas se exprese como “dos séptimos”? No puede ser más obvio.

PUES CLARO QUE VEO PROBLEMAS. YO SIEMPRE VEO PROBLEMAS… Y NO MENORES.

Parece que ya (casi) todo el mundo ha asumido que dar una magnitud física sin las unidades es una barbaridad. Por ejemplo, si me preguntas a qué distancia vivo de ti y te respondo “CINCO”, bien puedo ser tu vecino de portal (a cinco metros), de ciudad (kilómetros) o alguien que ande no muy lejos de la estrella Proxima Centauri (a cinco años-luz). De forma que “CINCO” no es una respuesta válida, ni siquiera aproximada. No contiene ninguna información que se pueda usar.

Pero aún seguimos teniendo la “asignatura pendiente” de LA INCERTIDUMBRES, LOS ERRORES EN LAS MEDIDAS.

Volviendo al ejemplo de la tela. Las siete personas, son siete, venga, eso te lo acepto, pero los dos metros de tela, ¿son dos metros exactos? Imposible, ¿verdad? ¿Ni un átomo de más ni uno de menos?

Lo más probable es que sean dos metros, “centímetro arriba, centímetro abajo”, o quizá unos cuantos centímetros extra, o quizá lo hayan cortado con mimo exquisito, pero sigamos teniendo una tolerancia de unos milímetros. O pudiera ser que la tela encogiera o se expandiera según la humedad ambiente…

Y mil cosas más que nos indican que ese dos, no era un DOS, era un 2,0 ± 0,1 m, si tenemos una incertidumbre de 10 centímetros, o bien 2,00 ± 0,01 m, si nuestra incertidumbre es de un centímetro.

Y ahora dime tú: Si no sabíamos si había un centímetro de más o uno de menos, ¿cómo puedo decir que la parte que me toca es de 2/7 m = 0,28571429… m? ¿Cómo puedo decir que me tocan veintiocho centímetros y medio, con siete décimas de milímetro, y una centésima de milímetro, y cuatro micras y… ¿Qué sentido tiene eso? NINGUNO, ya te lo digo yo.

Si tengo un error de un centímetro en la medida original y divido por siete, debo expresar el resultado con milímetros y no mucho más, los demás números NO TIENEN SENTIDO, por mucho que lo diga la calculadora. Los números que arroja la calculadora hay que interpretarlos, no son la verdad revelada por Dios.

Vemos con claridad, ahora, que el error con el que conocía la medida original me condiciona la precisión con la que puedo dar el resultado.

Así que, si estamos haciendo un problema de matemáticas ABSTRACTO, en las que las cifras no se refieren a nada en particular -porque podrían referirse a cualquier cosa (benditas matemáticas)- ahí no hay ningún problema en que el resultado sea 2/7, Pi, o raíz de 2, PEEEEEERO, si estamos resolviendo un problema del MundoReal™, en el que la ciudad A está a diez kilómetros de la ciudad B, tengo una tela de dos metros, un campo de 3 hectáreas… todas esas cifras llevan asociada una incertidumbre en su medida, que condiciona la que podamos dar en el resultado.

Es una convención corriente que, si no se indica lo contrario, el error es de ±1 en la última cifra que pongamos. Así 2 m lo entendermos como 2 ± 1 m. En cambio 2,0 será 2.0 ± 0,1 m. Y, como veis, tiene todo el sentido poner 2,000 y es un número distinto a 2. En el primero hemos medido esos tres decimales y han salido cero, como podrían haber salido 5, 7 y 3. Sin embargo cuando decimos que la medida es 2, se entiende que no tenemos ni idea (porque no los hemos medido) del valor de los decimales.

Y ahora dejadme que vaya un paso más allá.

Cuando hacemos cálculos sobre el MundoReal™ no solamente tenemos medidas con incertidumbres, es que estamos haciendo números SUPONIENDO que la realidad se aproxima a un MODELO, más o menos preciso de cómo creemos que funciona. Por ejemplo, cuando hacemos cálculos sobre cuánto tarda algo en caer (una distancia de metros) solemos despreciar el efecto del aire, por ser pequeño, cosa que está muy bien, pero que ya supone que nuestro resultado no será “exacto”, sino aproximado. Y, de nuevo os pregunto, ¿qué sentido tiene hacer un cálculo dentro de un modelo aproximado y dar el resultado con infinitos decimales, si el error del modelo ya afectaría al tercer decimal?

Creo que además de divulgar estas cosas al público en general, debemos ir procurando que vayan calando en el alumnado, porque este es el uso particular que hacemos de las matemáticas en las ciencias experimentales y es necesario aprenderlo y aplicarlo correctamente.

Si os gustan estas cosas, os escribí un libro completo, Aproxímate, que tenéis sólo en las mejores librerías. Experimentos caseros con los que te enseño las matemáticas de las ciencias experimentales desde cero, la varita mágica que te dirá cómo funciona las cosas sin tener que creerte a nadie, porque: “El que mide, sabe, el que no, sólo opina”.


No me presiones, ¡energízame!

12 marzo 2014

Este post es una colaboración mía, como integrante de Naukas, con la Cátedra de Cultura Científica de la UPV/EHU. Siendo publicado con anterioridad en el Cuaderno de Cultura Científica Aprovecho para agradecer a Javier Peláez (@Irreductible) y a César Tomé (@EDocet) su amabilidad y trabajo.

Hay unas cuantas palabras que usamos con mucha frecuencia en el lenguaje cotidiano, pero que también tienen un significado científico específico, lo cual da lugar a malos entendidos, a mal uso por desconocimiento y, en ocasiones, por mala fe. A estas cosas de las que vamos a hablar las denominamos magnitudes físicas, lo que quiere decir que son susceptibles de ser medidas.

FUERZA

Tengo fuerza, dame fuerza, estás fuerte… pero, ¿qué es la fuerza científicamente?

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Imagen Wikicommons

Fuerza sería aquello capaz de deformar objetos o cambiar su estado de movimiento (acelerarlo, frenarlo…)

Decimos que es una magnitud vectorial porque no solamente necesitamos saber lo intensa que es, sino en qué dirección y sentido está “empujando”, por lo que tenemos que representarla con un vector, una flecha. Como verás, científicamente no “tenemos fuerza”, aunque sí podemos ejercerla o aplicarla. Se puede medir en distintas unidades, pero la del sistema internacional de unidades (SI) es el newton (N)

MASA

Es la cantidad de materia, la “chicha” vaya, esas lorzas que nos adornan… eso es masa.

jfp2Se mide en kg (en el SI)

PESO

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Imagen de P. Fraundorf (Creative Commons)

El peso no es la masa, ni se mide en kg… “Pues yo le pido dos kilos de naranjas al frutero y me entiende” Ya, y yo al del bar le silbo y le digo “jefe, jefe” y me pone una Fanta… pero la expresión no es correcta científicamente. El peso es una fuerza. Es la fuerza con la que te atrae la Tierra o el lugar del Universo en el que estés: la Luna, Marte, o flotando en medio del espacio.

Como tal fuerza se mide en newtons (N)

Si te fijas, cuando tú dices que quieres perder peso no es correcto… porque probablemente lo que quieras hacer es desprenderte de las “asas del amor”… y eso es ¡masa! Lo que tú quieres es perder masa.

Para perder peso hay formas más sencillas_ – Puedes viajar a la Luna, allí pesas unas seis veces menos, ya que al ser más pequeña que la Tierra te atrae menos. – Ve a la estación espacial. Allí, estarás en ingravidez, así que pesarás cero. – También puedes lanzarte de un quinto, durante la caída también estás en ingravidez… de hecho estar en órbita es como estar cayendo sin llegar a tocar la superficie.

Para calcular el peso hay una fórmula aproximada muy sencilla. P = m.g siendo g la aceleración de la gravedad, aquí en la Tierra, aproximadamente 9,8 m/s^2.

De esta forma, 1kg resulta atraído con una fuerza de 1 · 9,8 = 9,8 N.

Aproximadamente 10 N por cada kilo. Esa es la fuerza que aplicas sobre el suelo o tu silla.

PRESIÓN

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Presión | Imagen wikicommons

A veces mis alumnos me hablan de la fuerza de una presión… cuando quieren decir lo intensa que es una presión, puede parecer un detalle insignificante, pero es incorrecto. La presión es la fuerza dividida por la superficie en la que se aplica.

Mira, sígueme.

Una persona tiene 75 kg de masa, eso quiere decir que su peso es de 750 N aproximadamente. Esa es la fuerza que aplica al suelo, pero no es lo mismo que se ponga zapatos de tacón, botas de fútbol o se suba en una tabla de snowboard.Digamos que “aprieta” menos el suelo en un caso que en otro, la fuerza está más o menos “concentrada”. A eso le llamamos presión.

Se mide en newton por metro cuadrado (N/m^2) a lo que llamamos pascales (Pa)

Así, haremos más presión cuanto más fuerza hagamos o cuanto más pequeña sea la superficie sobre la que la hagamos.

Si afilas la punta de un objeto, consigues que atraviese más fácilmente un material aunque hagas la misma fuerza… porque la presión es mayor.

Uno de los ejemplos más curiosos y divertidos es la cama de clavos. Parece más temible cuantos más clavos lleva, pero en realidad es mucho menos peligrosa… cuantos más clavos tengamos, menos presión hará nuestro cuerpo. Nuestro cuerpo siempre hace la misma fuerza (la de nuestro peso), pero la presión es menor, al estar aplicada esta fuerza en una superficie mayor (más puntas de clavos).

TRABAJO

En física el trabajo podría decirse que es el efecto que produce una fuerza (perdón para los puristas)

Homenaje a la mujer trabajadora | wikicommons
Homenaje a la mujer trabajadora | wikicommons

Si yo aplico una fuerza y no hay desplazamiento, aunque yo me canse, esa fuerza no ha conseguido nada… así que decimos que esa fuerza no ha hecho trabajo. Si yo aplico una fuerza en sentido contrario al del desplazamiento, diríamos que mi fuerza no ha ayudado a ese desplazamiento, de hecho lo ha dificultado… así que decimos que esa fuerza hace trabajo negativo.

Si la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares… si yo tiro hacia arriba y el objeto se mueve horizontalmente, desde luego, no puedo decir que sea debido a mi fuerza, así que también en ese caso decimos que la fuerza no hace trabajo.

Finalmente, si la fuerza y el desplazamiento no van perfectamente alineados, pensamos en la fuerza en dos componentes, la parte perpendicular no hace trabajo y la paralela sí. La cantidad de trabajo se calcula multiplicando la fuerza por el desplazamiento, así que newtons multiplicados por metros, a lo que llamamos julios (J) Así que el trabajo no se tiene (qué gran verdad en estos días), se hace al sistema al que le aplicas fuerza o se recibe del que te la aplica a ti.

ENERGÍA

La energía es la capacidad de hacer un trabajo, digamos de producir un “efecto”.

Lightning Slow motion | wikicommons
Lightning Slow motion | wikicommons

Fíjate que es la capacidad de hacer el trabajo, no que se haya hecho ya o que se esté haciendo. Cuando cuelgas un piano de un quinto, ese objeto, en esa situación, tiene la capacidad de convertirte en otro instrumento musical si te lo dejan caer encima (un acordéon…). Aún no lo ha hecho y quizá no lo haga, pero puede hacerlo, tiene energía. La energía se mide en las mismas unidades que el trabajo, en julios.

Hay muchos tipos de energía: cinética (la que tiene un objeto por estar moviéndose), potencial (la que tiene un objeto por su posición, como el piano), térmica (debida a la agitación de sus átomos), etc.

Sabemos convertir unas formas de energía en otras de muchas maneras, y particularmente se nos da muy bien con la energía eléctrica. Con un motor la convertimos en energía cinética, con un calentador en energía térmica, con una bombilla en energía luminosa, etc.

CALOR

Oímos con frecuencia “Tengo calor”… pero el calor no se tiene, científicamente hablando, lo que se tiene es energía térmica. Aún así, ni siquiera en los laboratorios, oiréis decir “Tengo energía térmica”.

Calor es el nombre que le damos a la energía térmica cuando se intercambia, cuando pasa de un sistema a otro.

Calor | Imagen wikicommons
Calor | Imagen wikicommons

Digamos que un sistema tiene más temperatura que otro, de forma que si los ponemos en contacto, pasará energía del primero al segundo. Bueno, pues a esa energía que pasa, mientras pasa, es lo que llamamos calor.

Como es energía, el calor se mide en julios.

Igual con dinero lo explico mejor: El saldo de tu cuenta bancaria sería “dinero”, energía. Tú me lo puedes pasar de muchas maneras: por transferencia, en efectivo, con un cheque. Todos esos “intermediarios” existen sólo mientras pasa el “dinero” de tu cuenta a la mía, donde incrementa mi saldo y se convierte de nuevo en “dinero”, energía. Así que los sistemas tienen energía, y se intercambian calor.

Usando el trabajo que definíamos antes también podemos “meter o sacar” energía de un sistema, pero de nuevo hablaremos de trabajo mientras se está pasando la energía (mientras dure la aplicación de la fuerza) y después hablaremos de energía en el nuevo sistema.

POTENCIA

La potencia no es lo mismo que la energía. La potencia sería la velocidad con la que la energía se está intercambiando en un proceso, o si quieres la velocidad con la que se hace un trabajo o se intercambia calor. Por lo tanto se medirá en julios por segundo, a lo que llamamos vatio (W).

Imagen wikicommons
Imagen wikicommons

Si tú y yo subimos cada uno un saco de cemento a un quinto, habremos hecho el mismo trabajo, pero será una “máquina” más potente quien lo haya hecho en menos tiempo. O, visto de otra manera, si nos dejan actuar durante el mismo tiempo, la máquina más potente hará más trabajo.

Dos calefactores que pongan una habitación a 21ºC habrán hecho el mismo trabajo, pero uno de 2000 W la calentará antes que uno de 1000W.

Espero que ahora veas un poco más claras las cosas que os contamos a veces los que hacemos divulgación… y si os apetece, decidme otros conceptos básicos que queráis que aclaremos.


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