Reglas de higiene matemática

14 mayo 2012

Cuando un estudiante sigue un procedimiento que no nos gusta para resolver un problema debemos darnos cuenta de que es culpa nuestra… lo más normal es que no anden en sus casas haciendo ecuaciones, aplicando la ley de Ohm… Lo que han aprendido mal lo han hecho de nosotros, con mucha frecuencia. Bien, pongámonos de acuerdo y empujemos todos en la misma dirección.

En mi instituto (el IES Vicente Aleixandre de Pinto) nos hemos juntado los dptos. de ciencias para acordar una manera común y coherente para la resolución de problemas matemáticos. Así no despistamos a los chavales y además incidimos todos en lo correcto. Un saludo para todos mis compañeros, agradeciendo su trabajo y su buena disposición.

Lo compartimos con vosotros por si os sirve.

Buenas prácticas

1. Uso de tres cifras significativas, como regla general, en los cálculos y, sobre todo en los resultados finales, acompañando el número con sus unidades correspondientes.

Ya os hablamos de eso por aquí. Para funciones trigonométricas y otros casos particulares se pueden usar tantas cifras como se consideren oportunas.

Esto es sobre todo para problemas “realistas” (sobre el mundo físico, no abstractos). Entendemos que en algunos momentos de la asignatura de matemáticas buscamos que aprendan a manejar fracciones o radicales. Pero cuando hagamos referencia al mundo “práctico y real” los números son decimales y conocidos hasta cierta precisión. Una longitud de 2/3 de metro no existe.

2. Corrección y cuidado en los símbolos, las unidades, etc.

Evitemos algunos errores comunes

- La abreviatura de segundo es s (minúscula y sin punto), ni S. ni sec, ni seg, etc.

- La k de “kilo” es minúscula

- La unidad de temperatura “kelvin” no se pone con (º) ni se dice “grados kelvin, es simplemente 77 K “setenta y siete kelvin“. K mayúscula.

- Las unidades que provienen de un nombre propio van con mayúsculas: (Nnewton, (J) julio, etc.

(Aquí le mandamos un saludo a Sergio L. Palacios que siempre se muestra en contra de castellanizar los nombres. Eso por aquí, de momento, no hemos querido meneallo)

- Los grados centígrados o de los ángulos van así º, no subrayados como en los ordinales: primero, segundo…

3. Sustituir o simplificar ecuaciones en la línea siguiente, no a continuación.

De esa manera es mucho más claro lo que se hace, además de permitir despejar con comodidad más tarde si lo que uno busca no está despejado ya.

4. Terminar el problema con la “frase respuesta”, donde ser resume y responde lo que se preguntaba en el problema.

5. Separar los cálculos de los pasos que se van dando, en dos columnas.

Así si nos equivocamos en un cálculo, podemos rehacerlo sabiendo en qué punto de la resolución del problema estamos.

6. En los problemas de la asignatura de matemáticas, cuando se refieran a magnitudes físicas como la velocidad o el tiempo, usar “v” o “t” como variables en lugar de “x”. Si no siempre, con cierta frecuencia.

Así se van acostumbrando los chavales a nombrar las incógnitas con otras letras diferentes.

7. Poner los resultados con unidades “naturales” según el tipo  de problema a tratar, expresándolos con potencias de diez cuando se hagan “demasiado” grandes o pequeños.

8. Elegir los datos de manera que tengan valores “realistas”, del orden de magnitud que aparecen en la realidad, y que los resultados no sean números enteros o fracciones (porque la vida no es así…)

Así evitaremos eso de “Profe, me sale mal, me sale 3,72″

9. Escribiremos con palabras lo que vamos haciendo o lo que queremos conseguir en cada paso.

 Aquí os ponemos un ejemplo de problema resuelto.

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1. Empezamos identificando el tipo de problema en el que estamos.

2. Escribimos los datos del problema, la incógnita que buscamos y un gráfico.

3. “Preparamos” los datos, cambiando las unidades al sistema internacional o a las típicas del problema. Los cálculos necesarios los hacemos aparte en la sección “Cálculos”.

4. Escribimos las ecuaciones aplicables a este problema.

5. Elegimos la ecuación donde aparece nuestra incógnita y nos damos cuenta de que necesitamos calcular antes otra variable (el tiempo, en nuestro caso).

6. Sustituimos y reordenamos.

7. Aparece una ecuación que debemos resolver, lo hacemos a la derecha.

8. Consideramos el sentido físico de las soluciones y descartamos las que no lo tengan.

9. Reemplazamos en la ecuación de la que partíamos y la que nos dará el resultado que buscábamos.

10. Recuadramos el resultado.

11. Escribimos la frase respuesta.

Os agradeceríamos que si os parece bien lo difundáis para la mejora de la calidad de la enseñanza de las ciencias.

También os agradecemos todos los comentarios y puntualizaciones que mejoren esta guía.

Estos chavales de hoy harán Ciencia mañana, que vayan bien preparados!

Finalmente un saludos a todos los compañeros profesores, allí donde estéis… incluidos los parados.


Como no lo oigo bien, lo entiendo mejor

7 mayo 2011

Los veinte centímetros… no existen (supongo que vosotras sospechabais algo).

Bueno, disculpadme, sí que existen… están en algún lugar entre los diecinueve y los veintiún centímetros… pero no puedo saber exactamente dónde.

Intentaré ser más claro.

Si compro una tabla de 20 cm de ancho, ¿cómo estoy seguro de que no hay un milímetro de más o de menos?

Si mido con una regla y veo que no se ha pasado ni un milímetro, ¿cómo sé que no se ha pasado una décima? ¿o una centésima?…

¿Eso quiere decir que el número veinte no existe?  Para nada…

El número, el concepto veinte, sí que existe… es su realización práctica lo que resulta “en la práctica” imposible (por supuesto esto sí es posible para números enteros, veinte vacas y cosas así).

De la misma forma es imposible poner una pelota justo en la cúspide de una pirámide, un pequeño error en una dirección hará que caiga.

La manera matemática de expresar esto es:

No puedo llegar al número exacto, pero sí con tanta precisión como necesites.

Si le pido que la precisión sea de centímetros, usará una regla, si de milímetros, un calibre, etc., etc.

Pensando en esto y, retomando el título del post, lamento deciros que no oímos bien.

Hablamos de esto hace tiempo.

Ni siquiera los que tienen un excelente oído musical oyen bien… oirán con cierta precisión, pero nunca con exactitud matemática.

Tchaikovsky con trompetilla (1930)

Y ahora vayamos a un concierto… cada persona del público escucha cosas distintas, según la sensibilidad de su oído, su edad, y si añadimos la interpretación de su cerebro… más diferentes aún.

Los instrumentistas cometen errores, en la afinación, en el tempo…

Algunos son percibidos por ciertas personas del público y otros no…

Lo que me resulta curioso es que si no detectamos los errores, porque su error es más pequeño que el margen que nosotros detectamos, o si los detectamos pero no son muy graves o numerosos… la música consigue emocionarnos.

La música es un vehículo, una manera de sentir emociones uno mismo y comunicarlas a otros.

Visto así, resulta paradójico que un vehículo imperfecto y mal percibido consigue transmitir correctamente su mensaje.

Incluso en algunos casos veréis a intérpretes disgustados con su resultado, quizá tú mismo, como oyente, poco emocionado porque has percibido demasiados fallos y te “ha sacado” de la emoción. En cambio verás a otras personas, que oyeron peor, y se emocionaron más.

Si nuestro oído fuera matemáticamente perfecto, todas las interpretaciones serían mediocres, desagradables, fuera de afinación, fuera de tempo… imposibles de disfrutar.

Fuente de la imagen: Asociación Astronómica Jerezana Magallanes


Casi me mato… baby

26 abril 2011

No, no voy a hablar de Barón Rojo

Quería poneros unos vídeos impactantes, al parecer de cámaras de vigilancia, que captan cómo se puede salvar el pellejo por un pelo…

Con esto también queríamos recordar que los sucesos improbables no son imposibles, pero que no podemos contar con que nos sucedan… y que no debemos confundir “no ha pasado nada” con “no hay peligro”. Ya escribimos un post hace tiempo sobre esto, por si os apetece echarle un ojo.

Un abrazo a Santi que es nuestra fuente


Mi nombre está en el número PI!!

26 abril 2011

El número PI nos gusta tanto que podríamos decir que es mágico.

Como ya sabréis es aproximadamente 3,14159…

Es un número infinito y no periódico. Eso quiere decir que la cadena de decimales no tiene fin y que no comienza a repetirse una secuencia, como pasa con números como 1/18, si hacéis la cuenta os sale 0,13888… a partir del tres aparece el ocho repitiéndose continuamente. Dicho en términos matemáticos es irracional, no se puede escribir como la razón de dos números, como la división de dos números enteros.

Además es un número trascendente… eso es más gordo aún. Eso quiere decir que no es solución de una ecuación polinómica de coeficientes racionales… vaya, que ni siquiera se puede escribir como la raíz de una fracción. Es un número muy especialito. Hay otros, como e, pero lo dejamos para otro momento.

Queda abierta la controversia sobre si los decimales aparecerán con la misma frecuencia, si es una aparición completamente al azar, lo que llaman un número normal, o si hay unas cadenas de números que aparecen más que otras.

Aquí hay una edición de un error que amablemente me señalaban en los comentarios. Gracias Carlos. Porque yo afirmaba que en cualquier número infinito y no periódico se pueden encontrar todas las cadenas, error.

Como es un número infinito y no periódico, podemos decir que al calcularlo los decimales irán apareciendo sin un orden, de manera que CUALQUIER CADENA DE NÚMEROS QUE SE TE OCURRA APARECERÁ TARDE O TEMPRANO

En ese enlace de Gaussianos podéis leer que en un número normal está asegurado que PODEMOS ENCONTRAR CUALQUIER PATRÓN DE NÚMEROS FINITO.

Aunque no está demostrado que PI sea normal ni lo contrario, sí es un resultado que muchos conjeturan. ¿Podemos lanzarnos a buscar patrones?

Así que he pensado, si pongo JAVI en números, según la ordenación del abecedario español, me sale 11 1 25 10, ¿estará esta secuencia en algún lugar de los decimales de PI?

Pues sí, mi nombre está escrito en la posición 5,803,882 por primera vez… (sin contar el 3, jeje)

Mi fecha de nacimiento un poco después, como en treinta millones y medio.

Esto lo podía haber buscado yo por las malas, pero alguien ha hecho esta web tan chula que te permite buscar cadenas en los primeros doscientos millones de decimales.

Así que si Pi fuera un número normal.

Y si lo pusiera en ASCII también lo encontraría, aquí o allá…

Y si buscase una cita de vuestro escritor favorito… también aparecería…

También aparecería el texto completo de la biblia… o de mi último libro (perdón por la publi).

Y ahora lo más inquietante…

También está por ahí escrita en ASCII la cura contra el cáncer, el secreto de la fusión fría… o el sentido de la vida, el universo y todo lo demás (eso es fácil, como es 42, está en la posición 92) ;)

Así que si Pi fuera un número normal…

Cualquier cosa que hayamos escrito, pintado o cantado… podemos codificarla en una secuencia de números que aparecerá en la infinita cadena de PI. 

Cualquier cosa que vayamos a escribir, pintar o cantar… ya está escrita en PI.

Todo lo posible está contenido en la infinita elegancia de PI

En realidad lo mismo podría decirse de cualquier suceso aleatorio cualquier cadena aleatoria que fuera normal y que se deje ocurrir infinitas veces, aquello de los monos escribiendo que ya parodiaron en los Simpsons, pero es que PI nos gusta tanto…

Pero si os mola más que os lo asegure con un número que sepamos seguro que es normal, aquí tenéis el extracto del post de gaussianos, con un número construído a base de concatenar primos (en base diez), la constante de Copeland-Ërdos 0,23571113…

Me ha quedado un post un poco guarrete con las correcciones, disculpadme. Pero creo que en estos ámbitos la gente prefiere, una vez cometido el error, poner las correcciones así a editarlo otra vez. Honradez y humildad… una vez metida la pata, claro.

Pi en wikipedia

Fuente imagen: wikipedia


Las paradojas de la democracia

23 septiembre 2010

Como siempre se ha dicho, la democracia es el menos malo de los sistemas que conocemos, porque claro, elegir gobernantes con un “concurso de popularidad” tiene sus inconvenientes.

En el reportaje que han hecho de “la Esteban” resulta que Sigma dos ha realizado una encuesta y, si la susodicha se presentara a unas elecciones, sacaría varios escaños con un porcentaje de votos por encima del 5%, según la región.

Supongo que compartiréis mi perplejidad y, ¿por qué no decirlo?, cierta tristeza.

Aprovechando os voy a poner una pregunta de mi segundo libro ¿Por qué la nieve es blanca? La ciencia para todos, en el que comentábamos que los problemas empiezan cuando elegimos el sistema de votación.

53. ¿Son justas las votaciones?

Estamos acostumbrados a vivir con ellas, y los que no se encuentran en ese caso… posiblemente les gustaría.

La democracia ha sido llamada con frecuencia “la menos mala de las formas de gobierno”; gobierno del pueblo, si nos vamos a la etimología.

Las decisiones se toman por votación directa o delegada por medio de representantes. Quizá sería mejor que una persona o grupo de personas de grandes conocimientos y honestidad tomaran las que fueran las mejores decisiones para todos, pero las iniciativas que se han llevado a cabo en esa dirección han desembocado frecuentemente en terribles dictaduras.

Así que parece que estamos “condenados” a votar para decidir.

Aunque la votación parece una forma justa y equitativa, incluso desde el punto de vista matemático presenta algunos problemas.

Para los que les guste profundizar más, busquen información sobre Condorcet, Arrow y Saari, pero quedaos un poco más que nos vamos a reír.

Imagina la siguiente situación, tenemos cinco candidatos para presidente: Pedro (A), Juan (B), María (C), Ana (D) y Beatriz (E).

Imagina que hay 55 votantes y que sus preferencias son las siguientes:

18 los prefieren en este orden ADECB

12 los prefieren en este BEDCA

10 los prefieren en este CBEDA

9 los prefieren en DCEBA

4 prefieren EBDCA

2 los prefieren en este ECDBA

Y ahora… a divertirse. Vamos a votar de cinco formas distintas, todas ellas muy habituales en distintos entornos.

Votación única

Cada uno vota al que prefiere en primer lugar… así que sale elegido Pedro.

Votación a doble vuelta

Hacemos una vuelta, elegimos a los dos más votados y después votamos entre esos dos para decidir el ganador.

Los ganadores de la primera vuelta son Pedro y Juan. Pero en la segunda vuelta muchos votos se sumarán a Juan, porque fíjate, casi todo el mundo lo prefiere antes que a Pedro. Ha ganado Juan.

Eliminatoria

Se vota cinco veces. En cada votación se elimina al que menos votos tenga y se vuelve a votar. Gana el que quede… y, ¡gana María! Probadlo, el orden de eliminación es E, D, B y A.

Votación ponderada

Cada elector da puntos a todos los candidatos, 5 puntos al que más le gusta, 4 al siguiente y así sucesivamente hasta 1 punto para el último. Este es el método de Borda. Gana Ana con 191 puntos… esto empieza a parecer ridículo…

Método de Condorcet

Es como una liga… “juegan todos contra todos” si hay alguno que los gane a todos, ese es el que gana. En este caso hay 10 emparejamientos… y, como habréis adivinado… gana Beatriz.

Cada uno de estos métodos prima un aspecto y descuida otros. Por ejemplo, Pedro (que sale en votación única) es un representante controvertido, hay muchos que le prefieren en primer lugar… pero hay muchos que no le quieren en absoluto. Ana en cambio es muy popular incluso entre los que no la prefieren en primer lugar… lo que la favorece en una doble vuelta, etc.

Y si queréis seguir, mirad los distintos métodos que se utilizan en los distintos países…, pero no desesperéis, seguimos teniendo el menos malo de los sistemas: la democracia… porque hay cosas mucho peores.

Foto: Wikipedia


Romance de la derivada y el arcotangente

12 septiembre 2010

Os traigo un clásico del humor matemático que volvió a mi memoria hoy.

Aquí tenéis la versión que he encontrado en CienciaNet

ROMANCE DE LA DERIVADA Y EL ARCOTANGENTE

Veraneaba una derivada enésima en un pequeño chalet situado en la recta del infinito del plano de Gauss, cuando conoció a un arcotangente simpatiquísimo y de espléndida representación gráfica, que además pertenecía a una de las mejores familias trigonométricas.

En seguida notaron que tenían propiedades comunes.

Un día, en casa de una parábola que había ido a pasar allí una temporada con sus ramas alejadas, se encontraron en un punto aislado de ambiente muy íntimo. Se dieron cuenta de que convergían hacia límites cuya diferencia era tan pequeña como se quisiera. Había nacido un romance. Acaramelados en un entorno de radio épsilon, se dijeron mil teoremas de amor.

Cuando el verano paso, y las parábolas habían vuelto al origen, la derivada y el arcotangente eran novios. Entonces empezaron los largos paseos por las asíntotas siempre unidos por un punto común, los interminables desarrollos en serie bajo los conoides llorones del lago, las innumerables sesiones de proyección ortogonal.

Hasta fueron al circo, donde vieron a una troupe de funciones logarítmicas dar saltos infinitos en sus discontinuidades. En fin, lo que eternamente hacían los novios.

Durante un baile organizado por unas cartesianas, primas del arcotangente, la pareja pudo tener el mismo radio de curvatura en varios puntos. Las series melódicas eran de ritmos uniformemente crecientes y la pareja giraba entrelazada alrededor de un mismo punto doble. Del amor había nacido la pasión. Enamorados locamente, sus gráficas coincidían en más y más puntos.

Con el beneficio de las ventas de unas fincas que tenia en el campo complejo, el arcotangente compro un recinto cerrado en el plano de Riemann. En la decoración se gasto hasta el ultimo infinitésimo. Adorno las paredes con unas tablas de potencias de “e” preciosas, puso varios cuartos de divisiones del termino independiente que costaron una burrada.

Empapeló las habitaciones con las gráficas de las funciones mas conocidas, y puso varios paraboloides de revolución chinos de los que surgían desarrollos tangenciales en flor. Y Bernouilli le presto su lemniscata para adornar su salón durante los primeros días. Cuando todo estuvo preparado, el arcotangente se traslado al punto impropio y contemplo satisfecho su dominio de existencia.

Varios días después fue en busca de la derivada de orden n y cuando llevaban un rato charlando de variables arbitrarias, le espeto, sin mas:

- Por que no vamos a tomar unos neperianos a mi apartamento? De paso lo conocerás, ha quedado monísimo.

Ella, que le quedaba muy poco para anularse, tras una breve discusión del resultado, aceptó.

El novio le enseño su dominio y quedo integrada. Los neperianos y una música armónica simple, hicieron que entre sus puntos existiera una correspondencia unívoca. Unidos así, miraron al espacio euclídeo. Los astroides rutilaban en la bóveda de Viviany… Eran felices!

- No sientes calor? – dijo ella

- Yo si. Y tu?

- Yo también.

- Ponte en forma canónica, estarás mas cómoda.

Entonces el le fue quitando constantes. Después de artificiosas operaciones la puso en paramétricas racionales…

- Que haces? Me da vergüenza… – dijo ella

- Te amo, yo estoy inverso por ti…! Déjame besarte la ordenada en el origen…! No seas cruel…! ven…! Dividamos por un momento la nomenclatura ordinaria y tendamos juntos hacia el infinito…

El la acaricio sus máximos y sus mínimos y ella se sintió descomponer en fracciones simples.

(Las siguientes operaciones quedan a la penetración del lector)

Al cabo de algún tiempo la derivada enésima perdió su periodicidad. Posteriores análisis algebraicos demostraron que su variable había quedado incrementada y su matriz era distinta de cero.

Ella le confeso a el, saliéndole los colores:

- Voy a ser primitiva de otra función.

El respondió:

- Podríamos eliminar el parámetro elevando al cuadrado y restando.

- Eso es que ya no me quieres!

- No seas irracional, claro que te quiero. Nuestras ecuaciones formaran una superficie cerrada, confía en mi.

La boda se preparo en un tiempo diferencial de t, para no dar que hablar en el circulo de los 9 puntos.

Los padrinos fueron el padre de la novia, un polinomio lineal de exponente entero, y la madre del novio, una asiroide de noble asíntota.

La novia lucia coordenadas cilíndricas de Satung y velo de puntos imaginarios.

Oficio la ceremonia Cayley, auxiliado por Pascal y el nuncio S.S. monseñor Ricatti.

Hoy día el arcotangente tiene un buen puesto en una fabrica de series de Fourier, y ella cuida en casa de 5 lindos términos de menor grado, producto cartesiano de su amor.

(Texto extraído de algún número de la revista de la ETS de Ingenieros Industriales de Madrid, allá por el año 1990. Firmado: “La jaca jacobiana”)

Yo lo leí, también en aquella época, en la revista “Llámalo X” que se publicaba en la Facultad de CC. Físicas de la Universidad Complutense de Madrid.

NOTA: Hay vídeos en youtube recitándolo e incluso con dramatizaciones… pero hasta un freak tiene sus límites…

ACTUALIZACIÓN… Pensándolo mejor,  no hay límites que valgan


Mayorías silenciosas… la resta.

21 julio 2010

El otro día en la entrevista que me hizo Bruno Cardeñosa en La rosa de los vientos (Ondacero) hizo un interesante comentario usando la preciosa operación de “la resta”.

Algo así como…

“Si 15 millones de personas estaban viendo la final del mundial en España, había otros treinta que no lo estaban viendo… ¿qué hacían?”


Wolfram Alpha, ¿el nuevo oráculo?

11 junio 2010

Es un nuevo motor de búsqueda.

http://www.wolframalpha.com

La diferencia: tú le haces una pregunta en lenguaje natural y él elabora una respuesta con el conocimiento que “vive” en la red. No una lista de enlaces, una respuesta completa y terminada.

Está en marcha, pero sigue en desarrollo y la verdad es que se te mezcla la ilusión de poder hablar con el “oráculo que todo lo sabe” y un cierto vértigo (si ya adoramos a google y a la wikipedia, ¿llegará el día en el que sólo admitamos una respuesta correcta?)

Interesantísima la conferencia TED que da el mismísimo “sacerdote” del oráculo.

Hace tiempo intentaron hacer algo parecido en “La guía del autoestopista galáctico”… estoy de guasa claro

Visto en seti.cl a través de Hispaciencia


Ser un outsider

18 mayo 2010

Empecemos por la estadística.

Ocurre con cierta frecuencia que al tomar datos, aparece algún “punto despistado” fuera de lo que parece ser el comportamiento principal. A esto se le llama outlier.

Una práctica matemáticamente correcta es (bajo ciertas condiciones)… cargárselo y mirar para otro lado. Porque se entiende que ese valor es un error en la medida,  o bien “estadísticamente despreciable” y su inclusión en los cálculos provocaría desviaciones que no representarían bien a la población, o no aproximarían bien lo que se quiere medir.

Por ejemplo, si calculamos el patrimonio medio en un barrio de currantes como el mío no podemos incluir al vecino que le acabe de tocar la primitiva, falseará el resultado.

Desde luego esto de cargarse a los outliers es más que peligroso, porque podemos estar ocultando el verdadero comportamiento de la naturaleza, dejando simplemente los tres o cuatro puntos que nos dicen justo lo que queremos oír.

Los que leáis esto supongo que con frecuencia os sentiréis así, outliers. Para personas se ha popularizado el término outsider.

El otro día mis alumnos me echaban en cara que les dijera que un compañero del Museo de la Ciencia era un outsider, para ellos es como si me estuviera metiendo con él.

El tipo es un experto en varios temas no muy comunes. Hace mucho bien con la información de calidad que aporta… pero es un outsider, qué se le va a hacer.

Aunque hay quien lleva muy a gala ser un outsider (o directamente un friki) y lo usa como marca o algo de lo que estar orgulloso, para mí, debería ser algo más neutro: No coincides con la corriente principal que hay en tu entorno, pues muy bien.

Por otra parte también hay que considerar que en un planeta en el que nos vamos acercando a los 7 000 millones, ser raro es cada vez más difícil. Seguro que habrá miles de personas que se parezcan bastante a cada uno de nosotros, pero eso no quiere decir que estemos dentro de la corriente principal de nuestro entorno.

“Poco común” no es ni malo ni bueno, es simplemente poco común.

Y, bueno, confesaré sin vergüenza ni orgullo, que yo mismo también me siento un poco outsider con frecuencia.

Foto: Wikipedia


Homer dibujado con epiciclos, impresionante

26 abril 2010

Acabo de ver en Ciencia Online un video genial


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